МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2009/2010 учебный год

Занятие 24

1.
Как расположить на столе три спички так, чтобы ни одна из них не касалась головкой стола? (Ставить спички «шалашиком» или пользоваться посторонними предметами не разрешается.)
2.
Гриша пришёл с папой в тир. Уговор был такой: Гриша получает 5 пулек и за каждое попадание получает ещё две пульки. Гриша выстрелил 17 раз и на этом пульки закончились. Сколько раз он попал в цель?

Вероятность

3.
Подбрасывают одну медную и одну серебряную монету. Найдите вероятность того, что выпадут два орла. Тот же вопрос, если обе монеты медные (одинаковые).
4.
а)
В мешке лежат 6 чёрных и 4 белых шара. Какова вероятность вытащить белый шар?
б)
В мешке лежат 6 чёрных и 4 белых шара. Сначала вытаскивают один шар, а потом, не опуская его обратно, ещё один. Какова вероятность выбрать два чёрных шара?
5.
Бросают две игральные кости. Подсчитывают сумму очков. Какая сумма наиболее вероятна?
6.
Сколько чисел от 1 до ста делится на 2? Делятся на 3? Делятся одновременно на 2 и на 3?
7.
Десять учеников стоят перед экзаменом у дверей класса. На столе — 10 различных билетов. Каждый должет зайти и взять один из (оставшихся) билетов. Миша не знает один из этих 10 билетов. Какова вероятность того, что именно этот билет ему попадётся, если Миша зайдёт а) первым; б) последним; в) шестым?
8.
а) Чему равна вероятность того, что хотя бы у двух школьников в классе из 29 человек дни рождения совпадают? б) Сравните эту вероятность с ½. (Високосными годами пренебречь.)

Дополнение: геометрическая вероятность

Определение. Пусть отрезок a составляет часть отрезка A. На отрезок A наудачу бросается точка. Геометрическая вероятность P(a) попадания точки на отрезок a считается по формуле

P(a)= длина a .
длина A

Определение. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Геометрическая вероятность P(g) попадания точки на фигуру g считается равной

P(g)= площадь g .
площадь G


9.
На отрезок AB длины L бросается точка C. Найти вероятность того, что длина меньшего из отрезков AC и CB имеет длину а) не меньшую L/3; б) не большую L/3.
10.
На плоскость с нанесённой сеткой квадратов со стороной a бросается монета радиуса r < a/2. Найти вероятность того, что монета а) не пересечёт ни одной стороны квадрата; б) не попадёт на вершину квадрата.
11.
На плоскость, разграфлённую параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см бросается круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечёт ни одной прямой.
12.
На отрезок OA длины L числовой оси брошены точки B и C с координатами b и c, причём c ≥ b. Найти вероятность того, что длина отрезка BC не больше длины отрезка OB.