МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 15

1.

В понедельник утром улитка начинает забираться на столб высотой 1 м. За день она поднимается на 30 см, а ночью, уснув, сползает вниз на 20 см. В какой день недели улитка доберётся до вершины столба?

2.

По углам пруда, имеющего форму квадрата, растут 4 дерева. Можно ли, не вырубая деревьев, увеличить площадь пруда в 2 раза так, чтобы он сохранил квадратную форму?

3.

С помощью карандаша и линейки без делений нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки.

4.

Распределите между тремя людьми семь бочонков, полных мёда, семь наполовину заполненных и семь пустых таким образом, чтобы все получили поровну мёда и поровну бочонков. (Все бочонки одинаковые, переливать мёд нельзя.)

5.

а)

Нужно подключить к сети люстру с семью лампочками так, чтобы можно было зажигать любое возможное число лампочек (от нуля до семи). Можно ли это сделать, используя только три выключателя?

б)

А если люстра с восемью лампочками?

6.

В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки — одну деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трёх заготовок, можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Сколько всего деталей можно сделать из 9 заготовок? А из 14? Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?

7.

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

8.

Какое наименьшее число клеток белой доски размером 10×10 клеток нужно закрасить в чёрный цвет, чтобы на ней не осталось ни одного белого «уголка», состоящего из трёх клеток доски?

9.

Существуют ли такие 2010 натуральных чисел, что каждое из них не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?

Дополнительные задачи

10.

Прямоугольная полоса размером 1×100 составлена из единичных полей, занумерованных числами 1, ..., 100. На полях с номерами 99 и 100 стоит по одной фишке. Двое играют в следующую игру: каждый игрок своим ходом может перенести любую фишку на любое свободное поле с меньшим номером. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. Докажите, что у второго игрока есть выигрышная стратегия.

11.

За круглым столом сидит компания из 30 человек. Каждый из них либо лжец, либо рыцарь (рыцари говорят только правду, лжецы всегда лгут). Каждого спрашивают: „Кто ваш сосед справа — рыцарь или лжец?” Известно, что количество лжецов не превосходит K. При каком наибольшем значении K всегда можно, зная эти ответы, указать хотя бы одного рыцаря в этой компании?

12.

В системе коридоров, показанной на рисунке, расстояние между каждыми двумя соседними развилками одно и то же. По коридорам бегает мышка, способная развивать скорость до 7 м/c. За мышкой согласованно охотятся две кошки, могущие развивать скорость до v м/c. Все животные в каждый момент знают месторасположение друг друга. При каком наименьшем значении v кошки могут (независимо от начальных положений) гарантированно поймать мышку?