МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 12

1.

Над цепью озёр летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на 8 озерах. Сколько гусей было в стае?

2.

В тетради написано сто утверждений:
1) В этой тетради ровно одно ложное утверждение.
2) В этой тетради ровно два ложных утверждения.
…
100) В этой тетради ровно сто ложных утверждений.
Какие из них истинны?

3.

Проводится следствие по делу об украденном мустанге. Подозреваемых трое — Билл, Джо и Сэм. На суде Сэм заявил, что мустанга украл Джо. Билл и Джо тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а все записи пропали. В ходе судебного заседания выяснилось, что мустанга украл лишь один из подсудимых, и что только он дал правдивые показания. Так кто украл мустанга?

4.

В колбе находится колония из 10000 бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую секунду вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую секунду новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т. д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

5.

Назовем натуральное число изумительным, если оно имеет вид a^b + b^a (где a и b — натуральные числа). Например, число 17 — изумительное, потому что 17 = 2³ + 3². Является ли изумительным число 2009?

6.

На складе 300 сапог: 100 хромовых, 100 кирзовых и 100 яловых, причём 150 из них правые. Докажите, что из этих сапог можно составить 50 „правильных” пар.

7.

В квадратном ковре 10×10 моль проела 80 дырок. Докажите, что из него можно вырезать квадратный коврик 1×1, не содержащий дырок а) внутри себя; б) ни внутри себя, ни на границе.

8.

На монетном дворе работают 10 рабочих. Монета должна весить 10 г, однако среди рабочих есть рационализаторы, которые делают монеты весом 9 г. Можно ли выявить всех обманщиков при помощи одного взвешивания на электронных весах? (Электронные весы показывают вес произвольного набора монет.)

9.

Миша написал на доске в некотором порядке 2010 плюсов и 2009 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

Дополнительные задачи

10.

Петя и Миша играют в такую игру. Петя берет в каждую руку по монетке: в одну — 10 коп., а в другую — 15. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки — на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети — правой или левой — монета достоинством в 10 коп.? Почему?

11.

Игорь закрасил в квадрате 6×6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2×2 одинаковое число закрашенных клеток и во всех полосках 1×3 одинаковое число закрашенных клеток. Докажите, что старательный Игорь закрасил все клетки.

12.

В некотором королевстве у каждого зáмка и каждой развилки сходятся по три дороги. Рыцарь выезжает из своего замка и едет, поворачивая поочерёдно то направо, то налево. Докажите, что его маршрут зациклится.

13.

На доске записаны несколько положительных чисел. За один ход разрешается любые два из них, скажем, a и b, заменить на числа a − ^b/₂ и b + ^a/₂. Можно ли через несколько таких ходов получить на доске исходные числа?