МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 2. Логика

Вариант I (аудитории 1304, 1306 и 1504)

1.

В двух кошельках лежат две одинаковые монеты, при этом в одном кошельке денег вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?

2.

За сутки до дождя кот Пети всегда чихает. Сегодня кот чихнул. „Завтра будет дождь,” — подумал Петя. Прав ли он?

3.

Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

4.

После 7 стирок и длина, и высота, и ширина куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска мыла?

5.

За круглым столом сидели четыре студента. Филолог сидел против Козина, рядом с историком. Математик сидел рядом с Волковым. Соседи Шатрова — Егоркин и физик. Какая профессия у Козина?

6.

а)

Может ли уроженец острова рыцарей и лжецов произнести фразу: «Я лжец»?

б)

Человек говорит, что он рыцарь. Можно ли определить кто он?

7.

В этой задаче два персонажа: A и B. А говорит:

а)

«Мы оба лжецы!»;

б)

«По крайней мере один из нас лжец»;

в)

«Или я лжец, или B рыцарь».
Кто A и кто B?

8.

За круглым столом сидят 12 человек (лжецы и рыцари).

а)

Каждый сидящий за столом произнес два высказывания: 1) слева от меня сидит рыцарь; 2) справа от меня сидит лжец. Могло ли такое быть?

б)

Каждый из сидящих за столом произнес: «Напротив меня сидит лжец». Сколько лжецов за столом?

9.

Трое жителей острова (А, В и С) разговаривали между собой в саду. Проходивший мимо незнакомец спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?» Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять. Тогда незнакомец спросил у В: «Что сказал А?». «А сказал, что он лжец», — ответил В. «Не верьте В! Он лжет!» — вмешался в разговор островитянин С. Кто из островитян В и С рыцарь и кто лжец?

10.

Предположим, что А высказывает утверждение: «Я лжец, а В не лжец». Кто из островитян А и В рыцарь и кто лжец?

11.

Как, имея лишь два сосуда ёмкостью 3 л и 5 л, набрать (в один из сосудов) из крана 4 л воды?

Вариант II (аудитория 1303)

1.

В двух кошельках лежат две одинаковые монеты, при этом в одном кошельке денег вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?

2.

Три подруги были на выпускном балу в белом, красном и голубом платье. Их туфли были тех же трёх цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвета платьев и туфель у подруг.

3.

В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденной муке. На суде Мартовский Заяц заявил, что муку украл Болванщик. В свою очередь Болванщик и Соня дали показания, которые почему-то не были записаны. В ходе заседания выяснилось, что муку украл лишь один из трёх подсудимых и что только он дал правдивые показания. Кто украл муку?

4.

После семи стирок и длина, и ширина, и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

5.

В этой задаче два персонажа: A и B. А говорит:

а)

«Мы оба лжецы!»;

б)

«По крайней мере один из нас лжец»;

в)

«Или я лжец, или B рыцарь».
Кто A и кто B?

6.

За круглым столом сидят 12 человек (лжецы и рыцари).

а)

Каждый сидящий за столом произнес два высказывания: 1) слева от меня сидит рыцарь; 2) справа от меня сидит лжец. Могло ли такое быть?

б)

Каждый из сидящих за столом произнес: «Напротив меня сидит лжец». Сколько лжецов за столом?

7.

Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?

8.

В шеренгу выстроились 100 человек, каждый из которых рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Первый сказал: «Количество рыцарей среди нас делитель числа 1», второй сказал: «Количество рыцарей среди нас делитель числа 2» и т.д., вплоть до сотого, который сказал: «Количество рыцарей среди нас делитель числа 100». Сколько в шеренге рыцарей?

9.

У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились 4 осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», зеленый: «Вместе у нас 27 ног», желтый: «Вместе у нас 26 ног», красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого сколько ног?

10.

В поезде едут три мудреца. Поезд въезжает в туннель, и после того, как загорается свет, каждый из мудрецов видит, что лица его коллег испачканы сажей, влетевшей в окно вагона. Все трое начинают смеяться над своими попутчиками, однако вдруг самый сообразительный мудрец догадывается, что его лицо тоже испачкано. Как ему это удалось?

11.

В сундуке лежали два колпака белого цвета и три черного. В темную комнату завели трех мудрецов и надели на них какие-то колпаки из сундука. Потом вывели в другую комнату. Они не видят, какого цвета колпак на них, но видят колпаки других. Через некоторое время один из них догадался, какого цвета на нем колпак. Как? Какого цвета был колпак?

Дополнительные задачи

12.

Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: «Известно ли тебе мое число?» Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит «да». Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.)

13.

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались.

14.

В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.

15.

Переаттестация Совета Мудрецов из 100 мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает на голову каждому колпак белого или черного цвета. Каждый мудрец видит цвета колпаков всех впереди стоящих мудрецов, но не видит цвет своего колпака и цвета колпаков мудрецов, стоящих сзади него. Затем мудрецы по одному называют какой-нибудь цвет (каждому разрешается говорить ровно один раз; то, что говорит один мудрец, слышат все). После этого король казнит всех мудрецов, назвавших цвет, отличный от цвета своего колпака. Накануне переаттестации все члены Совета договорились между собой и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

Вариант III (аудитория 1302)

1.

В компании из 12 аборигенов каждый заявил: «Вы все лжецы!». Сколько в этой компании рыцарей?

2.

Найдите десятизначное число, у которого все цифры различны, и наибольший общий делитель (далее всегда «НОД») любых двух рядом стоящих цифр равен 1.

3.

Сколькими способами можно выбрать из 15 учеников двух дежурных? А трех?

4.

Саша, Леша и Максим купили в магазине печенье в упаковках 3-х видов: 14, 21 и 35 штук в упаковке. Могли ли они в сумме купить 1000 печенек?

5.

Сколько различных слов можно получить перестановками букв в слове а) МАЛЫЙ; б) МЕХМАТ; в) МАЛЫЙМЕХМАТ? (Словом называется произвольный набор букв).

6.

Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой его делитель. Проигрывает тот, кто получит нуль. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

7.

Как разделить треугольник с углами 150, 1050, 600 на три равнобедренных треугольника?

8.

Числа 1, 2, ..., 9 разбиты на три группы. Докажите, что произведение чисел хотя бы в одной из групп меньше 72.

9.

Числа 1, 2, ..., 9 разбиты на три группы. Докажите, что произведение чисел хотя бы в одной из групп не меньше 72.

10.

Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшей?

11.

На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне него построены квадраты ACDE и BCKF. Из точек E и F на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры EM и FN. Доказать, что EM + FN = АВ.

12.

На доске написаны числа 4, 5, 6. Каждую минуту написанные числа a, b и c стираются, и вместо них пишутся числа a + b − c, b + c − a и c + a − b. Могли ли через некоторое время на доске появиться числа 7, 8, 9?

13.

По палке длиной 1 м ползают муравьи со скоростью 1 м/мин. 2 муравья, встречаясь начинают ползти в обратных направлениях (с такими же скоростями). Доказать, что через минуту на палке не будет ни одного муравья.