МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 20

1.

Аня, Боря, Вася и Галя собирали грибы. Аня собрала грибов больше всех, а Галя — не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

2.

В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

3.

Из Тьмутаракани в Тьмускорпионь можно попасть двумя разными путями: по реке и по озеру (длины путей равны). Два одинаковых парохода должны доплыть из Тьмутаракани в Тьмускорпионь и вернуться обратно. Какой из них проделает это быстрее: тот, который будет плыть по реке, или тот, что по озеру?

4.

Числа от 1 до 10 записаны в строчку в произвольном порядке. Каждое из них сложим с номером места, на котором оно стоит. Докажите, что хотя бы две суммы будут оканчиваться одной и той же цифрой.

5.

В pезультате измеpения четыpёх стоpон и одной из диагоналей некотоpого четыpёхугольника получились числа 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему pавна длина измеpенной диагонали?

6.

100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

7.

В таблице m×n расставлены числа так, что сумма чисел и в любой строке, и в любом столбце равна 1. Докажите, что m = n.

8.

На столе лежат две кучки камней: в первой кучке 10 камней, а во второй — 15. За ход разрешается разделить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет делать ход. Может ли выиграть второй игрок?

9.

Давным-давно барон Мюнхгаузен обнес свои владения забором и нарисовал на карте. Забор изображен замкнутой несамопересекающейся ломаной, внутри которой — владения барона. Барон забыл, входит ли в его владения деревня Гаузеновка. К сожалению, он смог найти лишь обрывок карты, на который попали его дом, деревня Гаузеновка и часть забора, проходящая по этому участку. Выясните, входит ли деревня во владения барона.

Дополнительные задачи

10.

Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нем точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдает меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?

11.

В каждой из n стран правит либо партия правых, либо партия левых. Каждый год в одной из стран может поменяться власть. Это может произойти в том случае, если в большинстве граничащих с этой страной стран правит не та партия, которая правит в этой стране. Докажите, что смены правительств не могут продолжаться бесконечно.