МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 25

1.

Одно трёхзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трёхзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

Ответ

Ответ. 147, 111.

2.

У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Ответ

Ответ. 10 копеек и 5 копеек. Одна из них и правда не пятак.

3.

Продолжите последовательность: 2, 9, 10, 12, 19, 20, 21, 22, …

Решение

Решение. Два, Девять, Десять, Двенадцать, Девятнадцать, Двадцать, Двадцать один, Двадцать два, Двадцать три… Первая буква — «Д».

4.

У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить. Однажды утром он обнаружил, что настенные часы стоят. Он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?

Решение

Решение. Этот человек дважды засёк время — на своих домашних часах — время, пока ходил в гости (время в гостях + 2×дорога) и на часах соседа (время в гостях). Также он знает время, в которое он ушел из гостей. Voilà, система линейных уравнений.

5.

Задача с американского экзамена. Гипотенуза прямоугольного треугольника — 10 дюймов, а опущенная на неё высота — 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

Ответ

Ответ. Нет, не 30. И вообще, с каких это пор у прямоугольного треугольника эта высота больше половины гипотенузы?

6.

а) Разрежьте вазу на рисунке слева на части, из которых можно сложить квадрат. б) Сделайте это, разрезав вазу не более, чем на три части.

Ответ

Ответ.

7.

Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке справа. (Площадь круга радиуса R равна π R².)

Указание Ответ

Указание. Теорема Пифагора — наше всё.

Ответ. S.

8.

Я купил лотерейный билет, у которого сумма цифр его пятизначного номера оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, если известно, что мой сосед без труда решил эту задачу.

Ответ

Ответ. Или сосед невероятно вундеркиндист, или ему 45 лет. В первом случае номер билета — 00000, во втором — 99999.

9.

101 − 102 = 1. Передвиньте одну цифру так, чтобы получилось верное равенство.

Ответ

Ответ. 101 − 10² = 1.

10.

На бесконечный конус наматывается нерастяжимая лента так, что она плотно прилегает к его поверхности и не покрывает вершины конуса. Может ли лента совершить бесконечное число оборотов?

Ответ Решение

Ответ. Не может.

Решение. Развернув конус на плоскости, мы видим, что лента не может пересечь образующей, по которой мы резали, бесконечное число раз. Значит, она не может сделать бесконечно много оборотов.

11.

Чтобы не умереть, вам нужно каждый день принимать ровно две таблетки — одну из синего пузырька и одну из красного. Сегодня, взяв из синего пузырька одну таблетку, вы слишком сильно тряхнули красный пузырек и вам на ладонь упало две таблетки из красного пузырька. Итак, у вас на ладони лежат три совершенно одинаковые таблетки: одна — из синего пузырька и две из красного. Никакой возможности их отличить у вас нет — и внешне, и на вкус они никак не отличаются. Выбросить их и взять новые вы не можете — они бесценны. Как вам, ничем не рискуя, принять лекарство?

Решение

Решение. Например, можно добавить ещё одну синюю таблетку, поделить каждую из полученных четырёх пополам и два дня пить половинки.