МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 26. Математический лабиринт

Геометрия

1.

Проведите через эти 16 точек замкнутую ломаную из шести звеньев, не отрывая карандаша от бумаги.

2.

Можно ли квадратный лист бумаги 3×3 сложить так, чтобы после одного прямолинейного разреза он распался на квадраты 1×1?

3.

Разрежьте 2 разных квадрата на части, их которых можно сложить третий квадрат.

4.

Разрежьте какой-нибудь треугольник на три равных треугольника.

5.

Сложите из 6 спичек 4 треугольника.

6.

Разрежьте остроугольный треугольник на три трапеции.

7.

Дана дощечка с тремя отверстиями: квадратным, круглым и треугольным. Придумайте выпуклую затычку такой формы, чтобы ей можно было заткнуть каждое из отверстий.

Игры

В этих задачах требуется придумать выигрывающую стратегию для одного из игроков и с помощью этой стратегии обыграть преподавателя.

1.

На шахматной доске 8×8 в левом нижнем углу стоит король. Его по очереди двигают двое, причем разрешены только ходы вверх, вправо и вверх-вправо. Проигрывает тот, кто не сможет сходить.

2.

Есть 30 камней. Два игрока по очереди берут от 1 до 7 камней. Выигрывает тот, кто берёт последний камень.

3.

Крестики-нолики 3×3.
Для получения плюсика надо либо выиграть у преподавателя, либо суметь поставить ему ничью и крестиками, и ноликами.

4.

Есть две кучки камней (в одной 25, в другой 30 камней). Можно или взять сколько угодно камней из одной кучки, или равное число камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

5.

Два игрока по очереди проводят прямые на плоскости. Каждый делает по 4 хода. Первый игрок выигрывает, если эти прямые разбивают плоскость на чётное число частей, а второй — если на нечётное.

6.

На окружности есть 20 точек. Два игрока по очереди соединяют две точки отрезком, причём нельзя пересекать уже проведённые отрезки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

Комбинаторика и инварианты

1.

В тюрьме Кощея пять камер, пронумерованных числами от 1 до 5. В каждой камере сидит по одному узнику. Василиса уговорила Кощея провести эксперимент: на стене каждой камеры она один раз напишет какой-нибудь номер и в полночь каждый узник перейдёт в камеру с указанным номером (если номер на стене совпадает с номером камеры, то узник никуда не переходит). В следующую полночь узники опять должны перейти из камеры в камеру согласно указаниям на стене, и так они действуют в течение пяти ночей. Если расположение узников в камерах в течение всех шести дней (включая первый) ни разу не повторится, то Василисе дадут звание Премудрой, а узников отпустят. Помогите Василисе написать номера в камерах.

2.

Сколькими способами можно раскрасить грани тетраэдра (треугольной пирамиды) в четыре цвета?

3.

Сколькими способами можно раскрасить грани куба в 6 цветов?

4.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

5.

Игральный кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?

6.

На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

7.

В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний «МО» и «ООММ», повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова «ОММ» и «МОО»?

Логика

1.

Часть жителей некого острова всегда говорят правду, остальные — всегда лгут. Путешественник, оказавшийся на острове, в совершенстве владеет языком островитян, только не помнит, какое из двух слов «пиш» и «таш» означает «да», а какое — «нет». Путешественник дошёл до места, где дорога раздваивалась, причём одна из дорог ведёт в деревню, а другая — в болото. На распутье он встретил аборигена. Сможет ли путешественник, задав всего один вопрос (предполагающий ответ «да» или «нет», т. е. «пиш» или «таш»), узнать, какая из двух дорог ведёт в деревню?

2.

Один из попугаев А, В и С всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий хитрец — иногда говорит правду, иногда врёт. На вопрос «Кто В?» они ответили:
А: — Лжец.
В: — Я хитрец!
С: — Абсолютно честный попугай.
Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

3.

Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

4.

В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

5.

\z 12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: „До меня соврали один раз”. Другой сказал: „А теперь — дважды”. „А теперь — трижды,” — сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: „А теперь соврали 12 раз”. Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же всего раз соврали кандидаты?

6.

Если Конёк-Горбунок не будет семь суток есть или не будет семь суток спать, то лишится своей волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?

7.

Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех справа от Таты — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши?

8.

Однажды Миша, Витя и Коля заметили, что принесли в детский сад одинаковые игрушечные машинки. У Миши есть машинка с прицепом, есть маленькая машинка и есть зеленая машинка без прицепа. У Вити есть машинка без прицепа и маленькая зеленая с прицепом, а у Коли — большая машинка и маленькая синяя с прицепом. Машинку какого вида (по цвету, размеру и наличию прицепа) принесли мальчики в детский сад?

„Реанимация”

1.

На столе лежат 5 яблок и 4 груши. Сколькими способами можно взять два разных фрукта?

2.

Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли равное количество грибов.

3.

У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько овец?

4.

У отца 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней он выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

5.

Какие из приведённых слов имеют ось симметрии: ТОПОТ, СОН, СЕНО, ВЕС, ТОН, ЭХО, СОСНА, СОК?

6.

20 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

7.

Буратино сел в поезд. Проехав половину всего пути, он лёг спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути Буратино проехал бодрствующим?

8.

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

9.

Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова — за 3, а овца — за 6.За какое время они съедят копну все вместе?

10.

Замените в записи 645*485* звёздочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 15.