МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 10

1.

5 мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли равное количество грибов.

2.

Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

3.

В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 — по 4 друга, а 10 — по 5 друзей?

4.

Красной Шапочке надо выйти из дома, дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, подождать там развозчика пирожков, купить пирожок и отнести его бабушке, которая живёт а) по другую сторону, б) по ту же сторону шоссе. Где Красная Шапочка должна выйти к шоссе, чтобы её путь оказался минимальным?

5.

Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин выпуклого четырёхугольника минимальна.

6.

Две деревни находятся по разные стороны от реки, берега которой — параллельные прямые.

а)

В каком месте реки необходимо построить мост, перпендикулярный берегам, чтобы путь из одной деревни в другую был минимален?

б)

А если мост должен составлять с берегами фиксированный угол, отличный от прямого?

в)

А если мост может составлять с берегами любой угол?

7.

а)

Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя по самому короткому пути?

б)

А как надо идти леснику, если угол тупой?

8.

В одной деревне живёт 500 учеников, а в другой 400. Где надо построить школу, чтобы суммарный путь учеников до школы был минимален?

9.

Докажите, что сумма расстояний от внутренней точки треугольника до его вершин не больше периметра треугольника.

10.

На середине ребра тетраэдра сидит паук. Как ему переползти на середину противоположного ребра по кратчайшему пути?

Дополнительные задачи

11.

Может ли внутри треугольника лежать треугольник большего периметра?

12.

Докажите, что из сторон любого выпуклого четырёхугольника, кроме ромба, можно сложить самопересекающийся четырёхугольник.

13.

Докажите, что в выпуклом многоугольнике не может быть трёх сторон, превосходящих по длине наибольшую диагональ.