МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2009/2010 учебный год

Занятие 23

1.
У Васи сестёр на 2 больше, чем братьев. На сколько у Васиных родителей больше дочерей, чем сыновей?
2.
а)
В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?
б)
А если дежурных 2010 и дежурят вчетвером?
3.
Замостите плоскость одинаковыми пятиугольниками.
4.
На книжной полке рядом стоят два тома Пушкина: первый и второй. Страницы каждого тома имеют вместе толщину 2 см, а обложка — каждая по 2 мм. Червь прогрыз (перпендикулярно страницам) от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома. Какой путь он прогрыз?
5.
а)
Проведите на плоскости 5 прямых так, чтобы получилось как можно больше точек пересечения.
б)
Объясните, как провести 20 прямых, чтобы число точек пересечения было как можно больше. Сколько будет точек пересечения?
6.
У Маши есть 20 бусин, каждая своего цвета. Сколько различных ожерелий можно из них собрать? (Ожерелья можно крутить и переворачивать.)
7.
На экваторе растет несколько 100-метровых сосен. Однажды все сосны завалились на восток и покрыли весь экватор. Докажите, что если бы они завалились на запад, то они также покрыли бы весь экватор.
8.
Разрежьте квадрат на два одинаковых а) четырёхугольника, б) пятиугольника, в) шестиугольника, г) 2010-угольника.

Дополнительные задачи

9.
Разрежьте треугольник на 3 части, из которых можно сложить прямоугольник.
10.
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трех цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?