МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Домашняя олимпиада №3

1.

Нарисуйте замкнутую ломаную из любого числа звеньев, пересекающую каждое своё звено 3 раза.

Ответ Решение 1 Решение 2

Ответ. Первый вариант и второй вариант

Решение 1. Эта картинка выглядит весьма сложной, но на самом деле построить её довольно просто. Сначала надо нарисовать незамкнутую фигуру (пусть она даже будет не одной ломаной, а несколькими), состоящую из отрезков и пересекающую каждый из них три раза: Теперь возьмём много таких фигур и соединим их в большое «кольцо». Если количество фигур было нечётным, то получится одна замкнутая ломаная. На первом рисунке взято 3 таких фигуры (одна выделена синим).

Решение 2. Звёзды с нечётным числом лучей позволяют постороить ломаную с любым чётным числом пересечений каждого звена. Пятиконечная звезда пересекает каждое звено 2 раза, семиконечная — 4 раза, девятиконечная — 6 раз. Чтобы получить ломаную, пересекающую каждое звено 3 раза, возьмём девятиконечную звезду и отметим на каждом звене середину. Пусть теперь эти середины станут новыми вершинами ломаной, звеньев станет в два раза меньше, зато они будут в два раза короче. Каждое новое звено пересекается 3 раза.

2.

Дана картина с верёвкой, и даны a) два, b) три, c) шесть гвоздей, вбитые в стенку. Надо повесить картину на гвозди так, чтобы при выдергивании любого из них картина падала. Верёвка достаточно длинная.

3.

На ступеньках лесенки сидят 3 молодых человека. Средний при этом видит нижнего, верхний видит первых двух. В мешке 5 кепок — две черных и три белых. Сидящим на головы надевают какие-то из этих кепок, никто не видит, какого цвета кепка на нём.

Затем у верхнего спрашивают: ты знаешь, какая на тебе кепка?
— Нет, — отвечает он, — откуда мне знать?
Спрашивают у среднего: а ты знаешь, какая на тебе?
— Нет, понятия не имею, — отвечает средний.
Наконец, спрашивают нижнего: ну а ты, что скажешь?
— Знаю, — говорит он. — На мне …

Продолжите его фразу.

Ответ

Ответ.

— На мне белая кепка.

4.

В ожесточённой драке более 70% хулиганов повредило глаз, более 75% повредило ухо, более 80% повредило руку, более 85% повредило ногу. Каким самым маленьким может быть количество драчунов, повредивших всё?

5.

Какие простые числа нельзя записать в виде суммы двух составных чисел?

Подсказка Ответ

Подсказка. Достаточно большое простое число p можно записать в виде суммы 9 и (p − 9). Кстати, почему (p − 9) составное?

Ответ. В виде суммы двух составных нельзя записать простые числа, не больше 11, то есть числа 2, 3, 5, 7 и 11.

6.

Олег поспорил с Гошей на подзатыльник, что он сможет отгадать любое задуманное им число от 1 до 1000 не более чем за 10 вопросов вида: «Это число больше/меньше такого-то?», причем Гоша хочет отвечать на них только «да» или «нет». Кто выиграет спор?

Ответ

Ответ. Олег сможет угадать число.

7.

По чистому полю едет танк. По его гусенице бежит мышка так, что всё время остаётся неподвижной относительно танка. Танк проехал 1 км, потом героически остановился. Какое расстояние пробежала за это время мышка?

Ответ

Ответ. 1 километр.

8.

Вы находитесь в пещере, в которой есть 2 выхода, один — на свободу, другой — ко льву! У каждого выхода стоит охранник. Один из них говорит всегда правду, другой — всегда ложь. Кто льва охраняет, неизвестно. Где какой стоит, непонятно. Какой один вопрос нужно задать охраннику, чтобы точно определить, какой выход правильный?

Примечание Ответ

Примечание. Если вы уже встречались с задачами такого типа, то, возможно, знате, что для многих задач подходит ответ, который имеет вид «чтобы ты ответил, если бы у тебя спросили „…”». Так построенная фраза заставляет говорить правду и лжеца и честного человека. Но такое решение не очень красиво, оно напоминает обман. Постарайтесь найти другое решение.
Да, вопрос «чтобы ответил второй стражник, если бы у него спросили „…”» тоже нечестный.

Ответ. «Честный стражник охраняет льва?» Если ответ «да» идём в другую дверь, если ответ «нет», то в ту, у которой стоит тот, кому задавали вопрос.

9.

Сколько существует четырёхзначных чисел, содержащих хотя бы одну пятёрку и делящихся на 5?

Ответ Решение

Ответ. 1152.

Решение.

Числа, делящиеся на 5, могут оканчиваться на 5 или на 0. Подсчитаем отдельно количества чисел, содержащих в записи пятёрку, оканчивающихся на 5 и на 0.

Если число оканчивается на 5, то оно уже содержит пятёрку, нам надо вычислить количество четырёхзначных чисел вида ***5. В этой записи *** можно считать трёхзначным числом, то есть числом от 100 до 999. Таких чисел 999 − 99 = 900 (от чисел от 1 до 999 вычитаем числа от 1 до 99).

Теперь выясним, сколько существует четырёхзначных чисел, оканчивающихся на 0 и содержащих пятёрку. В числе ***0 пятёрка может стоять на одном из трёх мест:

**50

*5*0

5**0

Подсчитаем количество чисел каждого вида:

**50: первая цифра принимает значения от 1 до 9 (9 вариантов), вторая — от 0 до 9 (10 вариантов). Каждый вариант выбора первой цифры позволяет выбрать любой из вариантов для второй, значит общее количество равно 9×10 = 90.

*5*0: первая цифра принимает значения от 1 до 9 (9 вариантов), третья — от 0 до 9 (10 вариантов). Ситуация такая же, как в первом варианте, общее количество чисел равно 90.

5**0: обе выбираемые цифры стоят не в начале числа, значит принимают значения от 0 до 9, общее количество вариантов: 10×10 = 100.

Сложим количества в трёх вариантах: 90 + 90 + 100 = 290. Это не правильное значение количества чисел, так как некоторые числа были подсчитаны 2 раза. Например, число 5150 (как и все числа 5*50) вошло как в первое, так и в третье слагаемое. Вычислим количество чисел, которые были подсчитаны дважды. Это числа, содержащие две пятёрки:

55*0: на место звёздочки можно поставить любую цифру от 0 до 9 (10 вариантов).

5*50: тоже 10 вариантов.

*550: теперь вместо звёздочки можно поставить только цифры от 1 до 9 (9 вариантов).

Общее количество чисел 10 + 10 + 9 = 29. Вычитаем это значение из 280: 280 − 29 = 251. Теперь мы переусердствовали, вычитая. Ещё есть число 5550, в котором три пятёрки, оно было подсчитано во всех трёх вариантах и три же раза вычтено. Поэтому надо добавить ещё один вариант. Точное значение есть 251 + 1 = 252.

Сложим теперь значения, полученные для разных последних цифр: 900 + 252 = 1152.

Ответ: 1152.

10.

За каждую решённую задачу участник заочного конкурса получает столько баллов, сколько других зарегистрированных учаcтников её не решили. Вовочка набрал меньше всех баллов, но в последний момент уговорил нескольких своих друзей зарегистроваться для участия в турнире. (Уговорил зарегистрироваться, но не решать задачи.) Мог ли в результате этого он набрать больше всех баллов?

Ответ

Ответ. Мог.