МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 12. Сравнения — 2

1.

Что больше 15.5% от 43 или 43% от 15.5?

Ответ Решение

Ответ. Значения одинаковы.

Решение. Оба значения равны выражению

15.5 × 43

100

2.

Что больше 5³⁰⁰ или 3⁵⁰⁰?

Ответ Решение

Ответ. 3⁵⁰⁰ > 5³⁰⁰.

Решение. 3⁵⁰⁰ = (3⁵)¹⁰⁰ = 243¹⁰⁰
5³⁰⁰ = (5³)¹⁰⁰ = 125¹⁰⁰
При возведении чисел в одинаковые степени неравенства между ними сохраняются. Поскольку 243 > 125, 243¹⁰⁰ > 125¹⁰⁰. А значит 3⁵⁰⁰ > 5³⁰⁰.

3.

Число 11…11 делится на 999 999 999. Сколько в нём цифр? (Приведите один пример.)

Решение

Решение. Подойдёт число 11…11, состоящее из 81 единицы. Составим дробь:

11…11	=	11…11
999 999 999		9 × 111 111 111

Потренируемся делить друг на друга числа, состоящие только из единичек на коротком примере:

1111 1111 1111	= 100010001.
1111

11…11	=	100000000100000000…1000000001
9 × 111 111 111		9

В числителе последней дроби 8 блоков вида 100000000 и ещё на конце единица, значит всего 9 единиц. Сумма цифр этого числа 9, поэтому значение дроби целое.

4.

82** делится на 90. Что это за число?

Ответ Решение

Ответ. 8280

Решение. Число должно делиться на 9 и 10. Чтобы оно делилось на 10 последняя цифра должна быть 0. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9: 8 + 2 + * + 0 ∶ 9 * + 10 ∶ 9 Покольку * — это цифра имеем единственный вариант: 8 (так как 18 делится на 9).

Ответ: 8280

5.

Шаги низкого клоуна на 20% короче шагов высокого, зато он за то же время делает на 20% шагов больше. Какой клоун ходит быстрее?

Ответ

Ответ. Высокий.

6.

Может ли число 44…44 делиться на 8 при каком-нибудь количестве четвёрок?

Ответ Решение

Ответ. Не может.

Решение. Составим дробь

44…44	=	11…11
8		2

Поскольку 11…11 число нечётное, значение дроби не целое число. От количества единиц, а значит и четвёрок в исходном числе, это не зависит.

Ответ: не может.

7.

Если в выражение n² + n + 41 подставить числа n = 1, 2, 3, 4, 5, получатся простые числа 43, 47, 53, 61, 71. Верно ли, что простые числа будут получаться при подстановке в это выражение любого n?

Ответ

Ответ. Неверно. Если подставить n = 41, получим 41² + 41 + 41 = 41 × ( 41 + 1 + 1) = 41 × 43.

8.

Решите ребус

	×	*	*	*
		*	*	*
	*	*	*	*
*	*	*
A	A	A	A	A

Ответ

Ответ.

	×	2	7	1
		2	0	5
	1	3	5	5
5	4	2
5	5	5	5	5

9.

Разрезать квадрат на остроугольные треугольники (любое количество).

Ответ

Ответ. Например, так

10.

Может ли число при зачёркивании первой цифры уменьшиться a) в 57 раз b) в 58 раз?

Ответ

Ответ. a) Может. Например, число 7125. b) Не может.