МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Домашняя олимпиада №1

1.

Для постройки дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. Количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в исходном проекте? (Во всех подъездах одинаковое число этажей, на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)

Ответ Решение

Ответ. Могло.

Решение.

Для простоты счёта положим, что в доме на каждом этаже в каждом подъезде одна квартира. Пусть сначала было 4 этажа и 5 подъездов (4·5 = 20 квартир). После первого изменения стало (5 + 2) = 7 этажей и (5 − 2) = 3 подъезда (7·3 = 21 квартира). После второго — (7 + 2) = 9 этажей и (3 − 2) = 1 подъезд, то есть 9·1 = 9 квартир, что намного меньше, чем исходное число квартир 20.

Ответ: Могло.

2.

На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым, если a) части обязательно должны быть одинаковыми, b) разрешено делать части любого размера?

Ответ

Ответ. a) на 12 частей, b) на 6 частей.

3.

После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

Ответ

Ответ. На одну.

4.

Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.

Ответ

Ответ. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10.

5.

Купец везёт деньги из пункта A в пункт B. На дорогах водятся разбойники, на каждой дороге они забирают у проезжающих какую-то часть денег, имеющихся у тех в данный момент. Какую именно, показано на рисунке. Как должен ехать купец, чтобы довести как можно бóльшую часть денег в пункт B? Сколько существует оптимальных путей? Какую часть денег он довезёт?

Ответ

Ответ. Он довезёт 36.288% начальной суммы, существует 4 оптимальных путя, один из них указан на рисунке.

6.

Над цепью озёр летела стая белых гусей. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озёрах. Сколько гусей было в стае?

Ответ

Ответ. 127.

7.

Разрежьте фигурку «рыбка» на две равные части.

Ответ

Ответ.

8.

С помощью чисел 1, 3, 4 и 6 (каждое использовать 1 раз) и действий сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень нет, операции можно использовать, как угодно, склеивать цифры в числа нельзя) выразить число 24.

Ответ

Ответ.

6
1 −	3
	4

9.

Антон перемножил все натуральные числа от 1 до своего возраста. Получилось число 8 841 761 993 739 701 954 543 616 000 000. Сколько Антону лет?

Ответ

Ответ. 29.

10.

Матч в футбол между командами Кардиналы Аризоны и Пантеры Каролины закончился со счётом 20:24. Докажите, что во время матча был такой момент, когда выигравшей команде осталось забить сколько голов, сколько уже забили ей.

Решение

Решение. Рассмотрим сумму очков, которые набрали обе команды. В начале игры она равна нулю и с каждым голом увеличивается ровно на 1. Значит в течение игры эта сумма принимала значения 1, 2, 3, … 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, … 44 (= 20 + 24). Ни одно из значений не могло быть пропущено!

Рассмотрим момент, когда эта сумма была равна 24. Пусть выигравшей команде Пантеры Каролины в этот момент было забито k голов. Тогда сама эта команда забила (24 − k) голов. До своего финального количества очков 24 ей осталось набрать

24 − (24 − k) = k очков.

Именно а этот момент количество голов, которое этой команде уже забили (k) равно количеству голов, которое осталось забить ей (тоже k).

11.

Света и Аня по очереди слева направо пишут цифры четырёхзначного числа. Первую — Света, вторую — Аня, третью — Света, четвёртую — Аня. Если полученное число делится a) на 9 b) на 11 c) на 12, то выиграет Аня, иначе — Света. У кого — Светы или Ани — есть выигрышная стратегия?