МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 14. Раскраски

1.

Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 метр a) разных цветов; b) одного цвета.

Решение

Решение. b) Нарисуем на плоскости в любом месте равносторонний треугольник со стороной 1 метр. Пусть точка A чёрная. Есть два варианта: если среди точек B и C есть точка того же цвета, тогда нужным нам отрезком окажется AB или AC. Если же чёрной точки среди B и C нет, обе эти точки белые, и сам отрезок BC будет иметь на концах точки одного цвета.

2.

Из шахматной доски вырезали угловую клетку. Разрежьте оставшуюся часть на трёхклеточные уголки.

Ответ

Ответ. Первый вариант: Второй вариант: Разумеется, вариантов существует гораздо больше.

3.

Каждая точка плоскости окрашена в один из трёх цветов. Докажите, что на плоскости найдётся отрезок длины 1, концы которого раскрашены одинаково.

Решение

Решение.

4.

Раскрасьте плоскость в разные цвета (любое количество, но не более 100), так чтобы концы любого отрезка длиной 1 были разных цветов.

5.

Раскраска географической карты является правильной, если любые два соседних государства раскрашены в разные цвета. Страны, не имеющие общего участка границы, могут быть раскрашены в один цвет.

1. Верно, что для раскраски любой карты достаточно трёх цветов?
2. А хватит ли трёх цветов, если все страны имеют форму треугольников?

Решение

Решение. Неверно. Ни a), ни b). Вот пример карты с четёрьмя странами, на которой каждая страна граничит с каждой другой.

6.

У художника-абстракциониста Карандаша есть только три карандаша — чёрный, белый и красный. Он всегда использует их все. Может ли он покрасить всю плоскость так, чтобы каждая прямая была раскрашена всего в два цвета?

Ответ

Ответ. Может. Например, таким образом. (В центре рисунка стоит одна чёрная точка.)

7.

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку. Закрасьте таким методом a) 32 клетки, b) 33 клетки.

Решение

Решение.

Мы будем решать только пункт b), так как если мы умеем закрашивать 33 клетки, то 32 мы сможем закрасить, остановившись на предпоследнем шаге.

Слабой стороной варианта, указанного в задании является то, что в нём слишком много длинных прямых линий. Прямая линия «запрещает» ставить точки в целом соседнем ряде клеточек, горизонтальном или вертикальном. А если эта линия не прижата к краю, то целых два ряда запрещаются. Поворот же, наоборот, хорош тем, что допускает линии пройти через клетку, соседнюю с угловой по диагонали. Чтобы можно было закрасить максимальное количество клеток путь должен побольше петлять. Например, содержать вот такие квадраты 3×3. Проще всего распихать эти квадраты по углам, потом подклеить друг к другу и получить такое решение:

Это решение не единственное, самыми красивыми, по-видимому являются эти два: