МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 7. Взвешивания

В задачах 1–6 используются чашечные весы. Они показывают, на какой из двух чашек груз легче, но не показывают на сколько.

1.

a)

Имеются три одинаковые на вид старинные монеты. Две из них весят одинаково, а третья — меньше. Можно ли её обнаружить с помощью одного взвешивания?

Решение

Решение. Взвешиваем первую и вторую монету. Возможно 3 варианта:

1. Первая монета тяжелее второй, следовательно, вторая монета фальшивая.
2. Первая монета по весу совпадает со второй, значит фальшивая третья.
3. Первая монета легче второй, отсюда следует, что первая и есть фальшивая.

b)

Есть 9 монет, одна из которых фальшивая. Известно, что фальшивая монета тяжелее настоящих. Найдите её за два взвешивания.

Решение

Решение. Похоже на первый пункт: кладём на каждую чашу по три монеты, после этого находим тройку монет, в которых есть фальшивая и действуем как в пункте a).

2.

Имеется 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать при помощи двух взвешиваний? (Саму монету искать не нужно.)

Решение

Решение. Взвесим монеты 50 на 50. Если масса кучек оказалась одинаковой, то 101-ая монета как раз фальшивая, вторым взвешиванием просто сравним ей с любой подлинной. Если масса разная, разобьём «тяжёлую» кучку пополам и взсесим монеты 25 на 25. Если кучки весят одинаково, то эти монеты подлинные, фальшавая была в лёгкой кучке, значит она легче настоящей, а если по-разному, то фальшавая монета в тяжёлой кучке, значит она тяжелее настоящей.

3.

Среди четырёх монет одна фальшивая. Она то ли легче настоящей, то ли тяжелее. Масса настоящей монеты 5 г. Имеется одна гиря массы 5 г. За два взвешивания на чашечных весах обнаружьте фальшивую монету, выяснив при этом, легче она или тяжелее настоящей.

Решение

Решение. Кладём на первую чашу весов гирю и первую монету, на вторую — вторую и третью монету. Возможно 2 варианта:

1. Чаши равны: значит фальшивая четвёртая.
2. Чаши не равны. Четвёртая монета не фальшивая.

Теперь кладём на первую чашу гирю и четвёртую монету, а на вторую первую и вторую, результат в таблице:

	5 г + №1 = = №2 + №3	5 г + №1 < < №2 + №3	5 г + №1 > > №2 + №3
5 г + №4 = = №1 + №2		Фальшивая №3, и она тяжелее	Фальшивая №3, и она легче
5 г + №4 < < №1 + №2	Фальшивая №4, и она легче	Фальшивая №2, и она тяжелее	Фальшивая №1, и она тяжелее
5 г + №4 > > №1 + №2	Фальшивая №4, и она тяжелее	Фальшивая №1, и она легче	Фальшивая №2, и она легче

4.

Имеется 4 камня, различных по весу. Найдите самый тяжелый и самый легкий среди них всего за 4 взвешивания.

Решение

Решение. Разобъём камни на две пары и сравним камни в каждой паре. После этого сравним друг с другом два «тяжёлых» и два «лёгких» камня.

5.

В качестве вещественного доказательства суду были предъявлены 8 монет, среди которых 4 монеты — фальшивые, весящие меньше настоящих, но не обязательно все одинаково. Адвокат обвиняемого знает, какие именно монеты настоящие, а какие фальшивые, и хочет убедить в этом суд. Как ему это сделать всего за 3 взвешивания?

6.

Есть шесть монет, из которых две фальшивые, весящие поровну, но меньше настоящих. За три взвешивания на чашечных весах определите обе фальшивые монеты.

7.

На монетном заводе 100 рабочих. Каждому выдано по килограмму золота для изготовления 100 десятиграммовых монет. Среди рабочих есть один рационализатор, который делает монеты весом 9 граммов. Можно ли при помощи одного взвешивания на весах с делениями, то есть показывающих вес, положенного на них груза, найти обманщика?

Решение

Решение. Положим на весы одну монету первого рабочего, 2 монеты второго рабочего, три монеты третье рабочего, … 100 монет 100-го рабочего. Тогда груз будет весить 10(1 + 2 + 3 + … + 100 ) − X = 10 × 101 × 100 / 2 − X грамм, где X — это как раз номер рационализатора.

8.

В гостиницу приехал путешественник. У него с собой есть только серебряная цепочка из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки. Хозяин гостиницы согласен в качестве платы принять только одно нецелое звено. Какое звено цепочки надо распилить, чтобы прожить в гостинице 7 дней и ежедневно расплачиваться с хозяином? (Хозяин может давать сдачу звеньями, полученными им ранее.)

Решение

Решение. Надо распилить третье звено. Получатся куски из 2, 1 (распиленное) и 4 звеньев. Потом можно будет последовательно расплачиваться

1	1
2	2	кусок из одного звена забрать
3	2 + 1
4	4	забрать 1 и 2
5	4 + 1
6	4 + 2	забрать 1
7	4 + 2 + 1