МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Листок 5. Конструкции

1.
Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Каша варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

Решение

Решение. Перевернуть и те, и другие часы, когда песок из 7-минутных часов высыпится, перевернуть их опять. Ещё через 4 минуты закончится песок в 11-минутных часах. в этот момент надо перевернуть 7-минутные часы. Когда песок в них высыпится обратно, пройдёт ровно 15 минут.
2.
Найдите a) однозначное, b) двузначное число, сумма цифр которого не меняется при умножении на любое однозначное число, кроме нуля.

Ответ

Ответ.

a) 0 и 9

b) 18, 45, 90 и 99

3.
Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?

Ответ

Ответ. Существуют. Например, 69999 и 70000.
4.
Разрежьте уголок (o8) на 4 равные части. Теперь на 16 частей. А на 64 части сможете?
5.
a)
На рисунке 6 отрезков расположены так, что каждый пересекает три других отрезка. Расположите 8 отрезков, чтобы каждый пересекал три других отрезка.
    
    
    
    
b)
Нарисуйте четыре горизонтальных и четыре вертикальных отрезка, чтобы каждый отрезок пересекал три отрезка другого направления. (То есть каждый вертикальный — три горизонтальных, а каждый горизонтальный — три вертикальных.)

Ответ

6.
a)
Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно 1 раз. Самопересечения ломаной не должны происходить в вершинах, звенья не должны иметь общих участков.

Ответ

b)
Существует ли 7-звенная ломаная, также пересекающая каждое своё звено 1 раз?

Ответ

Ответ. Нет. (Докажите!)
c)
А существует ли 8-звенная ломаная с таким свойством?

Указание Ответ

Указание. Попробуйте изменить 6-звенную ломаную.
7.
Можно ли соединить проводами 7 телефонов так, чтобы каждый был соединён ровно с тремя другими?

Ответ

Ответ. Нет.
8.
Можно ли между числами 1, 2, 3, …, 50 расставить знаки „+” и „−” так, чтобы значение полученного выражения равнялось нулю?

Ответ

Ответ. Нет.
9*.
Нарисуйте замкнутую 8-звенную ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно 2 раза.

Ответ