МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 15. Движение и совместная работа

0.

Задача-шутка: решать не требуется. Солдат роет яму за час. Верно ли, что 3600 солдат выроют её за одну секунду?

Комментарий

Комментарий. Конечно, нет. Столько солдат за одну секунду даже подойти к тому месту, где должна появиться яма, не успеют. К тому же, чтобы яма приобрела глубину, скажем, метр, сначала она должна стать глубины полметра, то есть некоторые действия, совершаемые при выкапывании ямы, должны делаться строго после других действий. Эта задача показавает, что не всегда производительность при совместной работе можно складывать, не получая противоречий. Впрочем, к математике она отношения не имеет.

1.

Поезд проезжает мимо телеграфного столба за 30 секунд, а по 100-метровому мосту — за 80 секунд. Какова длина поезда?

Ответ Решение

Ответ. 60 метров.

Решение. Время проезда мимо столба — это время, за которое голова поезда проезжает расстояние, равное длине поезда. Время проезда по мосту — это время от въезда на мост головы до съезда с моста хвоста. Голова за это время проезжает 100 метров + длина поезда. Значит ровно 100 метров голова проезжает за 80 − 30 = 50 секунд. Скорость поезда равна ¹⁰⁰/₅₀=2^м/_с. За 30 секунд с такой скоростью поезд проедет 30×2 = 60 метров. Это и есть длина.

2.

Автобус должен был ехать с некоторой постоянной скоростью. Первую половину пути он проехал со скоростью, в два раза меньшей запланированной. Сможет ли он приехать вовремя? Если да, во сколько раз ему нужно увеличить скорость?

Ответ Решение

Ответ. Нет, не сможет.

Решение. Если бы автобус ехал полдороги с запланированной скоростью, то затратил бы половину времени. При скорости в два раза меньше он затратил времени в два раза больше, то есть всё запланированое время. Поскольку всё время уже истекло, то догнать расписание не получится никак.

3.

Волька, пробегая по эскалатору, насчитывает 40 ступенек, а Старик Хоттабыч, который бежит с той же скоростью, но против хода — 60 ступенек. Сколько ступенек каждый их них насчитает, пробежав по неподвижному эскалатору?

Примечание Указание Ответ

Примечание. Нет, не 50. Честно.

Указание. Представьте, что конец эскалатора — это ещё один человек, идущий навстречу Вольке в первом случае и убегающий от Хоттабыча во втором.

Ответ. 48 ступенек.

4.

Артели косцов предстояло скосить два луга, из которых один вдвое больше другого. Полдня артель косила большой луг, а на вторую половину дня разделилась пополам. Одна половина осталась докашивать большой луг, а другая принялась за малый. К вечеру большой луг скосили, а от малого остался участок, который был скошен за другой день одним косцом. Сколько косцов в артели?

Ответ Решение

Ответ. 8

Решение.

Обозначим буквой s площадь, которую скашивает один косец за день. Количество косцов артели обозначим буквой n. Тогда площадь первого луга равна

^ns/₂ + ^ns/₄ = ^3ns/₄

(n косцов работали полдня, а потом ⁿ/₂ косцов работали полдня, при этом весь луг был скошен). Площадь второго луга по условию вдвое меньше, значит, она равна ^3ns/₈, из которых ^ns/₄ было скошено в первый день. Таким образом, один косец за день скосил

^3ns/₈ − ^ns/₄ = ^ns/₈.

Вспомнив определение величины s, получаем ^ns/₈ = s, то есть n = 8.

5.

Одна снегоуборочная машина могла бы убрать всю улицу за 1 час, а другая — за 45 минут. Начав работу одновременно, машины проработали вместе 20 минут, после чего первая сломалась. Через сколько минут вторая машина закончила работу?

Ответ Решение

Ответ. Через 10 минут.

Решение. Первая машина работала 20 минут, всю улицу она чистит за 60 минут, значит за 20 она успела почистить ²⁰/₆₀=¹/₃ улицы. Вторая машина должна почистить ²/₃. На всю работу она тратит 45 минут, значит на ²/₃ работы уйдёт ²/₃×45 = ⁹⁰/₃ = 30 минут. 20 из этих 30 минут уже прошли. Значит осталось работать 10 минут.

6.

Однажды в 9 часов утра путешественник вышел из гостиницы и начал восхождение к вершине горы. Путь был непрост, он шёл неравномерно, часто останавливался и добрался до цели только в 8 часов вечера. Переночевав, в 9 часов утра следующего дня путешественник двинулся по той же дороге, что и поднимался, в обратный путь. Спускаться, конечно, было проще, и уже к 5 часам вечера он добрался до гостиницы. Докажите, что на дороге есть хотя бы одна точка, которую путешественник проходил в одно и то же время на пути к вершине и на пути к дому.

Доказательство

Доказательство. Представим, что в один день два человека идут по одной дороге навстречу друг другу: один в гору, другой под гору. Пусть оба идут неравномерно, это не важно. Так как они идут навстречу друг другу, то обязательно найдётся точка, в которой они встретятся. Конечно, в этот момент будет одинаковое время, и они будут находиться в одной точке. Теперь пусть тот, который шёл под гору, шёл на другой день с той же скоростью (в каждый момент времени). В той точке, где эти два человека встретились вчера, они окажутся в одно время, но в разные дни.

7.

За ящерицей в зоопарке наблюдали несколько школьников в течение 30 секунд. Каждый наблюдатель следил за животным ровно 10 секунд, за которые ящерица пробегала ровно 1 м. Ящерицу ни на секунду не оставляли без присмотра. Могла ли она пробежать 4 метра?

Указание Ответ

Указание. Наблюдающих не обязательно трое, и наблюдают они не обязательно подряд, то есть кто-то может начать свое «дежурство» в середине «дежурства» другого.

Ответ. Могла. Найдите способ, которым она бежала, и как за ней наблюдали.