МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 1. Игры с числами

В тридевятом царстве, в тридесятом государстве есть волшебный лес, в котором, естественно, живут волшебные герои. Некоторые из них летают на коврах самолётах, другие гоняются за тремя поросятами, а третьи просто любят мороженое. Как и всем нам, волшебным героям приходится сталкиваться с математикой. Хотя нет, волшебные герои встречаются с математикой гораздо чаще, ведь даже в названии страны, в которой они живут, есть числа. Вот такие истории постоянно происходят в этом лесу.

1.

Волшебный заяц так увлёкся чтением, что из его книжки выпал кусок. Заяц заметил, что первая страница выпавшего куска, имеет номер 387, а номер последней записывается теми же цифрами только в другом порядке. Заяц побежал рассказать об удивительном случае своим друзьям. По дороге он так торопился, что забыл номер последней страницы. Можете ли вы сказать ему этот номер и определить, сколько страниц в выпавшем куске?

Ответ Указание 1 Указание 2 Решение

Ответ. Последняя страница имеет номер 738. Количество страниц в куске 738 − 386 = 352.

Указание 1. В выпавшем блоке целое число листов.

Указание 2. В выпавшем блоке целое число листов, стало быть чётное число страниц.

Решение.

В выпавшем блоке целое число листов, поэтому количество страниц в нём чётно. Раз первая страница куска имеет нечётный номер, то номер последней, расположенной с обратной стороны куска, будет чётным. Последняя цифра номера чётная. в нашем чиле единственная чётная цифра — 8, поставив восьмёрку на последнее место, получаем два вариниа номера: 378 и 738. Только одно из этих чисел больше 387 — номера начальной страницы, поэтому только оно и подойдёт. Итак, номер последней страницы 738.

Чтобы подсчитать количество страниц в выпавшем куске воспользуемся рисунком

(квадратики на нём — это страницы, а не листы) всего тут изображено 738 страниц, с первой по 738-ую. Среди них 386 белых. Обратите внимание, что страница 387 уже находится в куске, поэтому белые страницы кончаются предыдущем номером. Чтобы вычислить число чёрных страниц, надо из общего количества вычесть 386. Получается, что количество страниц равно 738 − 386 = 352.

2.

Когда гном входит в волшебную шахту, перед ним появляется какое-нибудь число. Он должен вычеркнуть из числа 10 цифр, и сразу после того, как он это делает к нему выезжает тележка с таким количеством золотых песчинок, какое число осталось написанным. Сегодня, когда в шахту зашёл гном-шахтёр Вася, появилось число 123451234512345123451234512345. Помогите Васе добыть как можно больше золота.

Ответ

Ответ. 123451234512345123451234512345 → 55345123451234512345.

3.

Известно, что в волшебном лесу растёт очень много цветочков-девятнадцатиточков. Общее количество этих цветочков в лесу состоит из 19 цифр, делится на 19 и оканчивается на 19. Сколько их может быть? (Найдите хотя бы один вариант.)

Ответ

Ответ. Подойдёт, например, число 1900000000000019. Или 1900190000000019. Или 3800000000000019.

4.

Возраст папы-лиса в 7 раз больше возраста сына-лисёнка, а возраст лисёнка равен последней цифре возраста папы. Определите, сколько лет каждому.

Ответ

Ответ. Папе-лису 35 лет, лисёнку — 5.

5.

В теремке, стоящем посередине леса живут барсуки и еноты. Квартиры в теремке пронумерованы только двузначными числами, причём в номерах использованы все двузначные числа. Сколько всего жильцов в теремке? Номера квартир, в которых живут барсуки, состоят только из чётных цифр. Определите теперь, сколько среди жильцов барсуков и сколько енотов?

Ответ

Ответ. Барсуков 20, енотов 70, всего 90.

6.

Сова написала правильную несократимую дробь, а удав увеличил её числитель на 1, а знаменатель — на 1000. Получилась опять правильная несократимая дробь. Сова считает, что дробь после таких действий обязательно уменьшится. Права ли она?

Ответ

Ответ. Не права. Например, если она напишет дробь

1

1001

то после действий удава получится дробь

1 + 1	=	2	>	2	=	1
1001 + 1000		2001		2002		1001

7.

Два гномика, Саня и Ваня, писали подряд числа 1, 2, ... 2005. Саня писал только цифру 1, а Ваня — только цифру 2. Остальные же цифры волшебным образом появлялись сами. После того, как работа была завершена, гномики задумались, кто из них написал цифр больше, Саня или Ваня, и на сколько. Помогите им, найти ответ на этот вопрос.

Ответ

Ответ. Саня написал больше на 994 цифры.