МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 17. Логика

1.

Одна старая леди очень любила собак и кошек. Всего у нее было десять питомцев. Однажды она решила накормить их всех конфетами, и раздала им 56 штук. При этом мы знаем, что каждой кошке она давала по пять конфет, а каждой собаке — по шесть. Сколько у нее было собак и сколько кошек?

Ответ

Ответ. 6 собак и 4 кошки.

2.

Есть три комнаты, на двери каждой из них — табличка. А написано на табличках вот что:

• На первой: «В этой комнате сидит дракон».
• На второй: «В этой комнате — принцесса».
• На третьей: «Дракон сидит во второй комнате».

Написанное на этих табличках может оказаться правдой, а может и нет; известно, однако, что только на одной из них — правда. А еще мы знаем, что принцесса — лишь в одной из комнат, а в двух других — драконы. Так где же сидит принцесса?

Указание Ответ

Указание. Предположите последовательно, что принцесса находится в первой, второй, третьей комнате, и посчитайте количество истинных высказаваний в каждом случае.

Ответ. Принцесса в первой комнате.

3.

Я задумал двузначное число, большее 10, потом сумму его цифр поделил пополам и взял целую часть; к ней я приписал слева — 20, потом прибавил 59, после чего, вычеркнув последнюю цифру, вновь посчитал сумму цифр полученного числа. Сколько у меня получилось?

Ответ

Ответ. 8.

4.

В сонном царстве все жители делятся на дневное и ночное племена. Всё, во что верят принадлежащие к дневному племени — правда, если в этот момент они бодрствуют; если же они спят, все их убеждения ложны. С ночным племенем всё наоборот. Так вот, один житель сонного царства решил, будто он спит и принадлежит к дневному племени. А что можно сказать о нем на самом деле?

Ответ

Ответ. Он принадлежит к ночному племени и в данный момент не спит.

5.

Есть три утверждения:

1. Утверждения 2 и 3 ложны.
2. Утверждения 1 и 3 ложны.
3. Утверждения 1 и 2 ложны.

Может ли хотя бы одно из них быть истинным? а два? а все?

Ответ

Ответ. Только одно из них может быть истинным (но неизвестно, какое).

6.

В квадрате со стороной 1 м расположили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 21 см.

7.

Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на четыре?

Ответ Решение

Ответ. Не может.

Решение. Пусть в квадрат возводили число x. x² чётно, значит x тоже чётно (иначе мы получили бы произведение двух нечётных чисел, x и снова x, а оно нечётно). Разделим x² на 4:

x²	=	x × x	= (	x	)×(	x	)
4		2 × 2		2		2

^x/₂ целое число, значит и значение выражения целое. А это означает, что x² делится на 4.

8.

Я взял нечетное число и возвел в квадрат. Если я вычту из полученного числа 1, будет ли оно делиться на 4?

Ответ Решение1 Решение2

Ответ. Будет для любого нечётного числа. wer: Ответ Будет для любого нечётного числа.

Решение1. Пусть нам было дано нечётное число x. Его возвели в квадрат и вычли единицу, получили x² − 1 = (x − 1)(x + 1) И (x − 1), и (x + 1) чётны. Их произведение делится на 4. Подумайте, почему.

Решение2. Любое нечётное число можно представить в виде (2k + 1). Возведём это число в квадрат и вычтем единицу: (2k + 1)² − 1 = (2k)² + 2(2k)·1 + 1 − 1 = 4k² + 4k = 4(k² + k) Последнее число делится на 4.