МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 19. Всякая всячина

1.

Как разделить поровну 7 яблок между 12 людьми, чтобы каждое яблоко было разрезано на равные части, но не более, чем на 5 частей?

Решение

Решение. 3 яблока разрезать на 4 части (получится 12 четвертей), 4 яблока разрезать на 3 части (получится 12 третей). Теперь дать каждому человеку одну четверть и одну треть яблока.

2.

На доске в ряд написаны 11 единиц. Перед каждой (в том числе и перед первой) поставлен либо знак „+”, либо „−”. Какие числа могут получиться при вычислении этого выражения (все варианты)?

Ответ Решение

Ответ.

Нечётные числа от −11 до 11. То есть числа −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, 11.

Решение. Во-первых, заметим, что сумма нечётного количества нечётных чисел обязательно нечётна сама. Поэтому значением суммы может оказаться только нечётное число. Теперь выясним, в каких пределах эти числа изменяются.

Минимальное значение получится, если перед каждой цифрой поставить знак „−”. Значение суммы равно −11.

Максимальное значение получится, если перед каждой цифрой поставить знак „+”. Значение суммы равно +11.

Возможные значения суммы — нечётные числа от −11 до 11. Теперь надо доказать, что любое значение из этого интервала может получиться. Сначала поставим перед каждой единицей „−”:

− 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 = − 11.

Превратим теперь самый последний „−” в „+”:

− 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1 = − 9. Как видим, получили следующее нечётное число. Повторим операцию: − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 = − 7. и так далее, превращая „−” в „+” мы пройдём по всем нечётным числа и не пропустим ни одного.

Ответ: Нечётные числа от −11 до 11.

3.

(Эта задача не совсем математическая, попробуйте провести эксперимент) Два ящика одинакогого размера заполнены картошкой: в одном мелкая, в другом крупная. Какой из них тяжелее?

Ответ Объяснение

Ответ. Тяжелее ящик с мелкой картошкой.

Объяснение.

Если бы все картофелины были точными одинаковыми шарами, то никакой разницы бы не было. Но картошка неровная, мелкая картошка заполняет ящик плотнее, так как может протиснуться в меньшие щели. Щели же между крупной картошкой достаточно велики.

Ещё значение имеет эффект «утряски»: если ящик потрясти, то картофелины перекатятся так, что попадут более «удобное» положение и займут меньше места. В мелкой картошке количество картофелин и, стало быть, мест соприкосновения между ними больше. Значит и мест, где воможна утряска больше.

Ну и наконец, ящик, в отличие от мешка жёсткий. Его размеры, скорее всего, не подходят точно под картошку. На рисунках видно, что зазор между самой правой картофелиной и стенкой у крупной картошки больше, чем у мелкой.

4.

Докажите, что в любой группе людей найдутся 2 человека, имеющие равное количество знакомых среди присутствующих. Если A знаком с B, то и B знаком с A.

Решение

Решение. Пусть в этой группе n человек. Рассмотрим два варианта.

Первый. В компании есть человек (назовём его Денис), знакомый со всеми остальными (n − 1). Теперь подумаем, каким может быть количество знакомых у каждого человека. 0 знакомых ни у кого быть не может, так как каждый знаком по крайней мере с Денисом. 1 знакомый быть может, 2, 3 и так далее до (n − 1) (у Дениса, а может быть, и ещё у кого-то). Больше быть не может. Получили (n − 1) вариант. А людей у нас ровно n. Без повторений на всех вариантов не хватит, у какой-то пары количество знакомых должно быть одинаковым.

Второй вариант. Человека, знакомого со всеми нет, тогда у каждого может быть 0 знакомых, может быть 1, 2, 3 и так далее до (n − 2). Во втором варианте не может быть количества знакомых (n − 1). Получили опять (n − 1) вариантов (от 0 до (n − 2)). Опять людей больше, чем вариантов, поэтому от повторений не убежишь.

Все варианты рассмотрены.

5.

Имеются «неправильные» чашечные весы, плечи которых имеют разную длину. Ещё есть достаточно большой мешок соли и гиря весом 1 килограмм. Как отсыпать себе 1 килограмм соли?

Примечание Решение

Примечание. Неправильные весы не только могут сначала находиться не в равновесии, но и терять его при добавлении на чашки одинакового веса. Более того, именно это и есть их основное свойство, можно считать, что сначала они в равновесии, но работают неправильно.

Решение. Поставим на одну чашу весов гирю, а на другую насыпем столько соли, чтобы весы выровнялись. Теперь убираем гирю и досыпаем на первую чашу соль, чтобы весы вновь уравновесились. Масса соли, которую досыпали, ровно 1 килограмм.

6.

Кубик покрасили в синий цвет, а потом распилили на 27 маленьких кубиков (каждая сторона разрезана на 9 квадратов). Cколько граней может быть окрашено у этих маленьких кубиков (найти все варианты)? Сколько получилось кубиков с одинаковой раскраской?

Ответ

Ответ. Может получиться 0, 1, 2, 3 раскрашенных грани.

0	1
1	6
2	12
3	8
Итого	27

7.

Может ли произведение трёх последовательных чисел быть равным a) 123123? b) 1231234?

Ответ Решение

Ответ. a) Нет, b) нет.

Решение.

а) Среди трёх последовательных чисел хотя бы одно (а может быть даже два) чётное. Произведение трёх чисел, среди которых есть чётное, само чётно. Поэтому, оно не может равняться 123123.

b) Среди трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Значит и их произведение делится на 3. Вычислим сумму цифр числа 1231234: 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 = 16. Сумма цифр не делится на 3, значит и само число на 3 не делится. Значит оно не может быть произведением трёх последовательных чисел.

8.

Вычислите без использования вычислительной техники (2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1).

Указание 1 Указание 2 Ответ Решение

Указание 1. чтобы упростить счёт, воспользуйтесь формулой (a − b)(a + b) = a² − b².

Указание 2. Домножьте выражение на 1 = 2 − 1.

Ответ. 65535.

Решение. (2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1) = (2−1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1) = (2²−1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1) = (2⁴−1)(2⁴+1)(2⁸+1) = (2⁸−1)(2⁸+1) = 2¹⁶−1 = (((2²)²)²)²−1 = ((4²)²)²−1 = (16²)²−1 = 256²−1 = 65536−1 = 65535.

9*.

a)

На доске написано 1001 число (числа произвольны, не от 1 до 1001). Докажите, что среди этих чисел найдётся пара, разность между которыми делится на 1000.

Решение

Решение. Рассмотрим остатки от деления на 1000 этих чисел. Существует 1000 возможных остатков, которые могут получиться при делении произвольного числа на 1000. А чисел у нас 1001, значит разных остатков на все числа не хватит, они обязательно повторятся. Пусть два числа a и b, написанные на доске, имеют одинаковые остатки при делении на 1000, то есть они представляются в виде a = 1000a' + d, b = 1000b' + d (где d одинаково в обоих выражениях). Тогда их разность (a − b) = (1000a' + d) − (1000b' + d) = 1000a' − 1000b' = 1000(a' − b') делится на 1000.

b)

На доске в ряд написана 1000 произвольных чисел. Докажите, что найдётся такой отрезок идущих подряд чисел (возможно, из одного числа), сумма чисел в котором делится на 1000.

Решение

Решение. Воспользуемся предыдущей задачей. Обозначим наши числа a₁; a₂; a₃; … a₁₀₀₀. Рассмотрим суммы начальных отрезков отрезков этой последовательности:
S₀ = 0;
S₁ = a₁;
S₂ = a₁ + a₂;
S₃ = a₁ + a₂ + a₃;
…
S₁₀₀₀ = a₁ + a₂ + … a₁₀₀₀.

У нас здесь ровно 1001 число. Как мы получили из предыдущего пункта, есть пара чисел, разность между которыми делится на 1000. Пусть это числа S_k и S_l, где (k < l). Их разность

(a₁ + a₂ + … a_l) − (a₁ + a₂ + … a_k) = a_{k + 1} + a_{k + 2} + … a_l как раз и равна сумме некоторого отрезка исходной последовательности.