МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Листок 2. Режем — пилим и кое-что о земельном праве

1.

a): Однажды волшебный заяц уронил свои часы. Циферблат зазвенел и раскололся на две части. Посмотрев на части, заяц заметил, что суммы чисел, оставшихся в каждой из них, совпадают. Нарисуйте, на какие части мог расколоться циферблат.

Ответ Общее указание

Ответ.

Общее указание. Сначала вычислите сумму, которую надо получить на каждом обломке.

b): А мог бы циферблат расколоться на три части, так чтобы сумма чисел в каждой части была одинаковой? А расколоться c) на две, d) на три части так, чтобы сумма цифр в каждой части была одинаковой?

Ответ b Ответ c Решение c Подсказка1 d Подсказка2 d Ответ d

Ответ b.

Ответ c. Не мог

Решение c.

Поскольку сумма цифр в каждой части одинакова, то сумма всех цифр циферблата должна делиться на 2. Считаем:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + (1 + 0) + (1 + 1) + (1 + 2) =
= 45 + 1 + 2 + 3 = 51.

Получили нечётное число. Разделить его на две одинаковых части не получится.
Ответ: не мог.

Подсказка1 d. Решение существует, но хитрое.

Подсказка2 d. Если разлом пройдёт между единицей и двойкой в числе 12, то они окажутся в разных частях.

Ответ d.

2.

Шахматист Волк очень любит играть в шахматы, но ещё больше он любит играть с шахматной доской. Одна из его любимых игр это распиливание шахматной доски 8×8 на одинаковые части. Сможет ли он разрезать доску

a): на доминошки размером 1×2

Ответ

Ответ. Сможет.

b): на трёхклеточные уголки ()?

Указание Ответ

Указание. Посчитайте количество уголков, на которые будет разрезана доска.

Ответ. Не сможет.

3.

У совы есть ковёр 4×4 метра. Моль проела в нём 15 дырок (каждая дыра — точкa). Может ли сова вырезать из ковра маленький целый коврик размером 1×1 метр?

Ответ

Ответ. Может при любом расположении дырок.

4.

Король Прямоугольного государства (оно находится совсем недалеко от волшебного леса) провёл на карте своей страны несколько прямых по линейке от края до края. Государство оказалось разделено на области. Сможет ли он так раздать области своим князьям и графам, чтобы соседями князей были только графы, а соседями графов — князья? (Если границы двух областей имеют только одну общую точку, то такие области не считаем соседними.)

Ответ

Ответ. Сможет.

5.

Может ли король из предыдущей задачи оставить одну область себе, чтобы среди его соседей были и князья, и графы?

Ответ

Ответ. Зависит от деления. Нарисуйте деление, при котором такая раздача земли возможна, и деление, при котором она невожможна.

6.

У князя Квадратной земли есть два сына, которые мечтают стать князьями a) Пятиугольных b) Шестиугольных c) Семиугольных земель. Сможет ли князь разделить свои владения между ними поровну (земли должны не только иметь одинаковую площадь, но и совпадать по форме) и исполнить их желания?

Ответ Решение

Ответ. Сможет во всех трёх случаях.

Решение.