МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Можно ли число 101001000100001 домножить на другое натуральное число так, чтобы среди цифр произведения не было ни одного нуля?
 

Величины всех углов выпуклого пятиугольника равны. Обязательно ли длины всех сторон этого пятиугольника равны?
 

В классе число отсутствующих учеников составляет ¹/₄ часть от числа присутствующих. Когда из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно ¹/₃ числа присутствующих. Сколько учеников в этом классе?
 

На чаепитие собрались 25 школьников. Каждый принёс по 2 пирожных. Все пирожные разложили на 25 тарелок (по две на тарелку). Докажите, что как бы ни были размещены пирожные, можно так раздать тарелки школьникам, что каждому достанется хотя бы одно пирожное, которое он сам принёс.
 

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD построены во внешнюю сторону равносторонние треугольники AXB и BYC. Докажите, что треугольник XDY а) равнобедренный; б) равносторонний.
 

Петя хочет переписать числа 2, 3, 4, ..., 49, 50 в другом порядке так, чтобы первое число делилось на 1, второе — на 2, третье — на 3, и так далее (последнее число должно делиться на 49). Сколькими способами он может это сделать?
 

На листе был написан 0. Саша дописал к нему 1, потом дописал 10, потом — 1001, и так далее: каждый раз он дописывал к уже имеющейся строке цифр новую строку, получаемую из имеющейся заменой всех нулей на единицы, а единиц — на нули. Так Саша сделал 10 раз и получил длинную строку:

0110100110010110...

Какая цифра стоит в этой строке на 1000-м месте?

Дополнительные задачи

На плоскости даны два непересекающихся круга. Существует ли вне кругов такая точка A, что любая прямая, проходящая через точку A, обязательно пересекает хотя бы один из данных кругов?
 

Решите в натуральных числах уравнение

x^x + y^y = z^z.