МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Человек родился 1 мая 40 г. до н.э., а умер 1 мая 40 г. н.э. Сколько лет он прожил?
 

Задумайте два двузначных числа. Первое умножьте на 4, к результату прибавьте 7, полученное число умножьте на 25 и прибавьте к результату второе задуманное число и число 125. Скажите преподавателю, что у Вас получилось, и он назовёт задуманные числа. Как он их узнает?
 

Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса, 7 пусты, а 7 наполнены наполовину, на 3 машины так, чтобы на машинах было поровну бочек и кваса?
 

Петя перемножил два натуральных числа, различающиеся на 1, а Вася перемножил два натуральных числа, различающихся на 2. Могли ли ребята получить в итоге одно и то же число?
 

Прямая окрашена в два цвета. Докажите, что на ней найдётся отрезок, концы и середина которого окрашены одним цветом.
 

Число х натуральное. Среди утверждений 2х > 70, x < 100, 3x > 25, x ≥ 10 и x > 5 три верных и два неверных. Найдите х.
 

Парус имеет вид четырёхугольника ABCD, величины углов А, В и D которого равны 45°. Найдите площадь паруса, если АС = 4 см.

Дополнительные задачи

Решите в натуральных числах уравнение

x! + y! = z!.
 

Найдите на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АСВ точку, сумма квадратов расстояний от которой до катетов АС и ВС наименьшая.
 

Однажды утром (в 9 часов) отшельник, живущий на склоне горы, начал восхождение к монастырю, стоящему на её вершине. Добрался туда он в 8 часов вечера. В 9 часов утра следующего дня отшельник начал спускаться с горы (по той же дороге, что и поднимался), и в 8 часов вечера вернулся домой. Докажите, что на дороге есть хотя бы одна точка, которую отшельник проходил в одно и то же время на пути к монастырю и на пути к дому. (Скорость отшельника при движении непостоянна.)