МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В числе 314159265358 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.
 

а) Можно ли заменить звёздочки в равенстве 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 0 на знаки «+» или «–» так, чтобы равенство стало верным?
б) Тот же вопрос для равенства 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 0.
 

Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом. Какое наименьшее число звеньев нужно разъединить, чтобы из обрывков можно было, заковав звенья, составить одну цепь?
 

В треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой одной из его сторон. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
 

Можно ли в таблице 5×5 расставить несколько чисел так, чтобы сумма чисел в любом столбце была положительной, а в любой строке — отрицательной?
 

Петя нарисовал 5 рисунков. На каждом рисунке он изобразил несколько прямых и отметил все точки пересечения этих прямых друг с другом. В результате на первом рисунке он отметил всего 1 точку, на втором — 2, на третьем — 3, на четвёртом — 4, а на пятом — 5.
а) Приведите примеры таких рисунков.
б) Про какие из Петиных рисунков можно наверняка сказать, сколько на них проведено прямых?
 

(Задача Иосифа Флавия) Ребята стоят по кругу. Они считаются следующим образом: первый остается в круге, следующий за ним по часовой стрелке (второй) выходит из круга, следующий за ним (третий) остаётся, четвёртый выходит, и так далее через одного по кругу. Круг все время сужается до тех пор, пока в нём не останется один человек. Выясните, кто именно останется (на каком месте он стоял первоначально), если вначале стояло а) 16 человек; б) 17 человек; в) 64 человека; г) 2003 человека.
 

а) Сколько раз в сутки минутная и часовая стрелки часов совпадают?

б) А сколько раз в сутки они образуют угол 90°?
 

На доске записано число, оканчивающееся на 01. Докажите, что можно провести черту между какими-то двумя соседними цифрами этого числа так, что количество единиц до черты будет равно количеству нулей после черты.
 

В поле проходит прямая дорога, по ней со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки поля, из которых можно догнать автобус, если бежать со скоростью 5 км/ч.