МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Поставьте вместо звёздочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.
 

Петя и Вася ехали вниз по эскалатору. На середине эскалатора хулиган Вася сорвал с Пети шапку и бросил на встречный эскалатор. Петя побежал вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься за шапкой вниз. Вася побежал вниз, чтобы затем подняться за шапкой вверх. Кто будет первым? (Скорости ребят относительно эскалатора равны и не зависят от направления движения.)
 

Сумма цифр целого числа делится на 27. Обязательно ли и само число делится на 27?
 

Давным-давно барон Мюнхгаузен обнёс свои владения забором и нарисовал на карте. Забор изображен замкнутой несамопересекающейся ломаной, внутри которой — владения барона. Барон забыл, входит ли в его владения деревня Гаузеновка. Он смог найти лишь обрывок карты, на который попали его дом, деревня и часть забора, проходящая по этому участку. Выясните, входит ли деревня во владения барона.
 

На каждой клетке доски 9×9 сидело по жуку. По сигналу каждый жук переполз на одну из соседних клеток по стороне (при этом в каких-то клетках могло оказаться несколько жуков). а) Докажите, что хотя бы одна из клеток освободилась. б) Могла ли освободиться лишь одна клетка?
 

Точка O лежит внутри треугольника ABC. Докажите неравенство AO + OC < AB + BC.
 

а) На плоскости дана точка. Расположите на плоскости несколько кругов так, чтобы они не соприкасались друг с другом и «заслоняли» точку, то есть чтобы любой луч, выходящий из точки, упирался бы в один из кругов.
б)* Сколько кругов для этого необходимо?

Дополнительные задачи

Дано число 1. За ход можно умножить имеющееся число на 2 или прибавить к нему 1. За какое наименьшее число ходов можно получить число а) 10 м; б) 100; в) 1000? Ответ обоснуйте.
 

Юра выбрал в равностороннем треугольнике площади 1 точку и без ошибки нашёл сумму расстояний от неё до сторон треугольника. Какое число он получил?
 

От шоссе отходят несколько дорог к сёлам. Где на шоссе нужно расположить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от нее до сёл (по дорогам и шоссе) была наименьшей?