МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите величины углов этого ромба.
 

Что больше: сумма всех чётных чисел первой сотни или сумма всех её нечётных чисел? На сколько?
 

Может ли квадрат целого числа оканчиваться на цифру 2?
 

— А у нас в классе 25 человек, и каждый дружит ровно с 7 одноклассниками!
— Не может быть этого,— ответил приятелю Витя Иванов, победитель олимпиады. Почему?
 

— У Димы больше тысячи книг!
— Да нет, у него меньше тысячи книг.
— Ну уж одна-то книга у него есть.
Из этих утверждений ровно одно верное. Сколько книг может быть у Димы?
 

Докажите, что из любых 11 натуральных чисел можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.
 

Петя ехал в поезде. Сначала он читал книгу, затем отдыхал, смотрел в окно, пил чай. На каждое из этих занятий, кроме первого, у Пети ушло вдвое меньше времени, чем на предыдущее. Начал читать книгу он в полдень, а закончил пить чай в час дня. Когда Петя начал смотреть в окно?

Дополнительные задачи

Имеется много прямоугольников 2×1: обычных и с проведённой диагональю. Надо выбрать 18 прямоугольников и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали. Каким наименьшим количеством обычных прямоугольников (без диагонали) можно обойтись?
 

Сколько существует строк из 15 цифр, в которых встречаются только нули и единицы, причём никакие два нуля не стоят рядом?
 

Можно ли накрыть равносторонний треугольник двумя меньшими равносторонними треугольниками?