МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Проверяя, что кусок материи имеет форму квадрата, швея перегибает его по каждой диагонали и убеждается, что края каждый раз совпадают. Достаточна ли такая проверка?
 

Может ли сумма четырёх последовательных натуральных чисел делиться на 4?
 

а) Есть две кучи по 9 камней. Двое по очереди берут камни (за ход можно взять любое число камней, но лишь из одной кучи). Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто из игроков (начинающий или его противник) может всегда побеждать?

б) А если есть 3 кучи по 9 камней?

в) А если 4 кучи?
 

Лист бумаги разрешено рвать на 4 или на 6 частей. Докажите, что по этим правилам его можно разорвать на любое число частей, начиная с 9.
 

Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В лесу 99% сосен. Мы будем рубить только сосны. После рубки сосны будут составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса вырубит леспромхоз?
 

Верно ли, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов (не обязательно одинаковых), начиная с шести?
 

Две деревни находятся по разные стороны от реки, берега которой — параллельные прямые. В каком месте реки следует построить мост, перпендикулярный берегам, чтобы длина пути из одной деревни в другую была бы наименьшей?
 

Из угла прямоугольного бильярда размерами а) 3×5; б) 3×2003 под углом 45° выпущен шар. В какой из углов бильярда попадёт этот шар, и сколько раз он до этого отразится от бортов? (Шар считаем точкой; шар отражается от борта по закону «угол падения равен углу отражения».)

Дополнительные задачи

Лист бумаги разбит на части несколькими прямыми. Всегда ли можно окрасить каждую часть одним из двух цветов так, чтобы любые части, имеющие общую сторону, были разного цвета?
 

а) Из любых ли десяти палочек можно сложить десятиугольник?

б) Из 12 палочек сложили четыре треугольника. Можно ли сложить из этих палочек три четырёхугольника?
 

Докажите, что числа 16, 1156, 111556, 11115556, ... — квадраты натуральных чисел.