МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Все стороны четырёхугольника равны. Обязательно ли он является квадратом?

В классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из них а) дежурного и старосту; б) двух дежурных; в) трёх дежурных?
 

Перед Вами стишок о мышке и кошке (слева) и его перевод (построчный) на язык племени ам-ям (справа):

Как, не имея линейки, отрезать от ленты длиной 144 см кусок длиной 27 см?
 

15 ребят собрали всего 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали орехов поровну.
 

а) В институте работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий, а 23 — оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языков?
б) Пусть кроме этого французский знают 20 человек, английский и французский — 12, немецкий и французский — 11, а все три языка — 5. Сколько человек не знают ни одного из этих трёх языков?
 

а) Нужно подключить к сети люстру с семью лампочками так, чтобы можно было зажигать любое количество лампочек от одной до семи (сначала все лампочки погашены). Можно ли это сделать, используя только три выключателя?

б) А если люстра с восемью лампочками?

Дополнительные задачи

Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом — их произведение. Затем он один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?
 

Два ртутных термометра висят так, как показано на рисунке. При какой температуре столбики ртути в них будут оканчиваться на одной высоте?
 

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами их можно переставить (в другом порядке), чтобы ни одна книга не осталась на месте?