МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Что больше: число 1024 или

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512?

На сколько?
 

Ежедневно в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход, и в это же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из пароходов находится в пути ровно 7 суток, и идут они по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?
 

В треугольнике длина одной стороны равна 3,8 см, длина другой стороны — 0,6 см. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она выражается целым числом сантиметров.
 

Сократите дробь

Дан лист клетчатой бумаги. С помощью карандаша и линейки нарисуйте квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки.
 

Что больше: сумма длин сторон выпуклого четырёхугольника или сумма длин его диагоналей?
 

Меню в школьном буфете постоянно и состоит из 10 разных блюд. Чтобы разнообразить свое питание, Петя решил каждый день выбирать себе завтрак по-новому (за завтраком он может съесть от 0 до 10 разных блюд).
а) Сколько дней ему удастся это делать?
б) Сколько всего блюд он съест за это время?
 

Удастся ли написать на доске более 50-ти разных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

Дополнительные задачи

Докажите, что у правильной пятиконечной звезды, изображённой на рисунке, закрашена ровно половина площади.
 

Найдите сумму
6 + 66 + 666 + 6666 + 66666 + ... + 66...66 (последнее слагаемое — стозначное).
 

Найдётся ли число вида 11...11, делящееся на 2003?
 

Прямолинейный прут длиной 2 м разрезали на пять кусков, длиной не менее 17 см каждый. Докажите, что среди этих кусков найдутся три, из которых можно составить треугольник.