МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Наполненный доверху водой сосуд весит 5 кг, а наполненный наполовину — 3 кг 250 г. Сколько воды вмещает сосуд?

а) Что больше: 3333333 · 4444444 или 2222222 · 6666667? б) На сколько?
 

В треугольнике ABC угол B прямой, AB = BC = 1. На стороне AC взяли точку и нашли сумму расстояний от неё до сторон AB и BC. Какое получилось число?
 

Дано 2002 целых числа. Известно, что сумма любых 100 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел также положительна.
 

Стальную плитку размерами 17×10 см обвели карандашом на бумаге. Найдите центр полученного прямоугольника, имея в распоряжении только эту плитку и карандаш.
 

У Серёжи было 7 картофелин, у Пети — 5, а у Юры не было ни одной картофелины. Они сварили картошку и разделили её поровну на троих. Благодарный Юра дал Серёже с Петей 12 конфет. Как они должны поделить их?
 

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?

Дополнительные задачи

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он сообщает, по какую сторону от неё лежит невидимая нами точка (если точка принадлежит прямой, то он так и скажет). Какое наименьшее число вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли невидимая точка внутри квадрата?

Поезд двигался в одном направлении 5,5 ч. Известно, что за любой отрезок времени длительностью 1 ч он проезжал ровно 100 км. Обязательно ли
а) поезд ехал равномерно?
б) средняя скорость поезда равнялась 100 км/ч?