МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Дополнительный набор – 1 (06.10.2012)

1.

Арбуз весит 6 кг и ещё треть арбуза. Сколько весит арбуз?

Ответ Решение

Ответ. 9 кг.

Решение. 6 кг весят две трети арбуза. Тогда треть арбуза весит 3 кг, а весь арбуз — 9 кг.

2.

Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат — 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

Ответ Решение

Ответ. Через 15 минут после того, как выйду из дома.

Решение. Я прохожу половину пути до школы за 15 минут, а мой брат — за 20 минут. Так как я выхожу из дома на 5 минут позже него, то через 15 минут мы оба будем как раз на середине пути в школу.

3.

На острове рыцарей и лжецов навстречу вам идут два аборигена, один из которых говорит: «Или я лжец, или мой спутник — рыцарь». Установите, кто из них кто. Рыцари всегда говорят правду, лжецы — всегда лгут.

Ответ Решение

Ответ. Оба рыцари.

Решение. Если говорящий — рыцарь, то его утверждение верно. Поскольку он не является лжецом, его спутник является рыцарем. Если же говорящий — лжец, то его утверждение должно быть неверно, но оказывается верным. Это противоречие показывает, что говорящий не может быть лжецом.

4.

Автобусные билеты имеют шестизначные номера: от 000000 до 999999.

а)

Сколько всего различных номеров?

б)

А сколько номеров, все цифры которых нечётны?

Ответ Решение

Ответ. а) 1000000; б) 5⁶ = 15625.

Решение.

а) Очевидно.

б) Сначала поставим на первое место одну из 5 нечётных цифр, это можно сделать пятью способами. Для каждого из этих способов есть по пять возможностей поставить нечётную цифру на второе место, затем на третье, и т.д.. Всего получается 5·5·5·5·5·5 = 5⁶ = 15625 способов составить шестизначный номер только из нечётных цифр.

5.

Оля, Коля и Толя пришли в столовую. Коля съел половину всех пончиков, после чего продавщица отложила один пончик для директора столовой. После этого Толя съел половину оставшихся пончиков. Увидев это, продавщица отложила один пончик себе. После этого Оля доела оставшиеся 2 пончика. По сколько пончиков съели Толя и Коля?

Ответ Решение

Ответ. Толя съел три пончика, а Коля — семь.

Решение. Перед тем, как продавщица отложила себе один пончик, их оставалось 2 + 1 = 3 штуки. Перед тем, как Толя съел половину остававшихся пончиков, их было вдвое больше, то есть 6. Значит, Коля съел три пончика. Перед тем, как продавщица отложила один пончик для директора, их было 6 + 1 = 7. А перед тем, как Коля съел половину всех пончиков, их было ещё вдвое больше, то есть 14. Таким образом, Коля съел 7 пончиков.