МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 20. Раскраски

Раскраска 1	Раскраска 2	Раскраска 3	Раскраска 4	Раскраска 5

1.

а)

Из обычной шахматной доски 8×8 вырезали клетки C5 и G2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1×2?

б)

Тот же вопрос, если вырезали клетки C6 и G2.

Подсказка

Подсказка. Используйте шахматную раскраску.

2.

Можно ли разбить квадрат 8×8 с отрезанным уголком на прямоугольники 1×3?

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь раскраской 1.

3.

Можно ли доску размером 10×10 клеток разрезать на фигурки в форме буквы T из четырёх клеток, как на рисунке ниже?

Подсказка

Подсказка. Используйте шахматную раскраску.

4.

Можно ли доску 10×10 разрезать на фигурки из четырёх клеток в форме буквы Г, как на рисунке ниже?

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь раскраской 3.

5.

Можно ли квадрат 6×6 разрезать на прямоугольники 1×4? Придумайте раскраску для решения этой задачи самостоятельно.

6.

Доска 8×8 разрезана на доминошки размером 2×1. Может ли быть 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь раскраской 3.

7.

Можно ли из квадрата 7×7 вырезать 10 квадратов 2×2?

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь раскраской 4.

8.

На клетчатой бумаге произвольным образом отмечено 20 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 5 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом. Соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину.

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь раскраской 2.

9.

Из листа клетчатой бумаги размером 17×17 клеточек вырезали 35 квадратиков 2×2 (режут по линиям). Докажите, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь раскраской 5.

10.

В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, то есть симметрично отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в другом углу:

а)

левом верхнем;

б)

правом верхнем?

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь раскраской 3.

11.

Кусок сыра имеет форму кубика 3×3×3, из которого вырезан центральный кубик. Мышь начинает грызть этот кусок сыра. Сначала она съедает некоторый кубик 1×1×1. После того, как мышь съедает очередной кубик 1×1×1, она приступает к съедению одного из соседних (по грани) кубиков с только что съеденным. Сможет ли мышь съесть весь кусок сыра?

Подсказка

Подсказка. Используйте шахматную раскраску.

12.

Треугольник разбит на треугольнички (25 штук), как показано на рисунке. Жук может ходить по треугольнику, переходя между соседними (по стороне) треугольничками. Какое максимальное количество треугольничков может пройти жук, если в каждом он побывал не больше одного раза?

Подсказка

Подсказка. Используйте шахматную раскраску.