МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Знаятие 5. В триодиннадцатом королевстве

1.
Сидят леди Джейн и леди Нинэт. «Я — Джейн» — сказала первая. «Я — Нинэт», — сказала вторая. Известно, что хотя бы одна из них лжёт. Кто из них Джейн, а кто — Нинэт?
Ответ. Первая — Нинэт, вторая — Джейн.
Решение. Пусть хотя бы одна из них сказала правду. Тогда она и есть та, за кого себя выдаёт. Но тогда вторая леди тоже назвала своё настоящее имя. Значит, если они и говорят правду, то сразу обе. А нам известно, что хоть одна из них лжёт. Выходит, что каждая из них назвалась чужим именем.
2.
Ни один добрый поступок не является незаконным. Верно ли, что все недобрые поступки являются незаконными?
Ответ. Нет.
Решение. Условие лишь позволяет утверждать, что все добрые поступки являются законными. Но отсюда вовсе не следует, что все законные поступки являются добрыми. Поэтому условие задачи не запрещает существования законных недобрых поступков.
3.
В одной из трёх комнат сидит принцесса, в другой — тигр, а оставшаяся комната пуста. На дверях комнат висят таблички. На первой: «Здесь сидит принцесса», на второй: «Третья комната пуста», на третьей: «Здесь сидит тигр». Известно, что все надписи неверны. В какой комнате на самом деле находится принцесса?
Ответ. Принцесса находится в третьей комнате.
Решение. Рассмотрим таблички на второй и третьей комнатах. Они обе неверны, то есть неправда, что «третья комната пуста» и неправда, что в ней «сидит тигр». Значит, третья комната не пуста и в ней нет тигра. Поэтому там принцесса.
4.
В каждой из двух комнат (I и II) либо тигр, либо принцесса. На комнатах висят таблички. Если в комнате I принцесса, то утверждение на табличке I истинно, если же тигр, то ложно. Если в комнате II принцесса, то утверждение на табличке II ложно, если же тигр, то истинно. Где же принцесса, если таблички такие:
I: В обеих комнатах находятся принцессы.
II: В обеих комнатах находятся принцессы.
Ответ. Принцесса во второй комнате.
Решение.

Предположим, что во второй комнате сидит тигр. Тогда утверждение на её дверях должно быть верным, но оно утверждает, что в обеих комнатах сидят принцессы. Получаем противоречие. Значит, во второй комнате точно находится принцесса. Поэтому табличка на второй комнате врёт. Отсюда следует, что врёт и табличка у первой комнаты, поскольку на обоих табличках написано одно и то же. Выходит, что в первой комнате сидит тигр.

Замечание. Обратите внимание, что условие не запрещает ситуацию, когда в обеих команатах тигры или когда в обеих комнатах принцессы. Однако мы доказали невозможность такой ситуации строго из условия задачи.

В королевстве есть остров Баратория, где живут только рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут.
5.
Трое знакомых — Анатолий, Борис и Сергей — как-то встретились в парке. Анатолий сказал: «Мы все лжецы», Борис возразил ему: «Ровно один из нас рыцарь». Кто же из них был рыцарем, а кто лжецом?
Ответ. Анатолий и Сергей — лжецы, а Борис — рыцарь.
Решение.

Начнём с Анатолия. Он не может быть рыцарем, так как он тогда обвинял бы во лжи сам себя. Поэтому он лжец. Так что его слова не верны, а значит, среди этих троих есть хотя бы один рыцарь (и хотя бы один лжец — сам Анатолий).

Теперь обратимся к Борису. Предположим, что Борис неправ. Тогда он является лжецом, и лжецов уже хотя бы двое (он и Анатолий). Но мы помним, что среди этой троицы имеется хотя бы один рыцарь. Получается, что среди них как раз ровно один рыцарь, и Борис всё-таки прав. А это противоречит предположению о том, что Борис лжец. Значит, Борис — рыцарь, причём, по его словам, единственный. Тогда Сергей — лжец.

6.
Одного островитянина судили за преступление. Подсудимому разрешалось произнести в свою защиту только одну фразу. Поразмыслив, он заявил следующее: «Лицо, действительно совершившее преступление, в котором меня обвиняют, — лжец». Виновен ли подсудимый?
Ответ. Подсудимый невиновен.
Решение. Если подсудимый — лжец и совершил преступление, то он не мог бы произнести эту фразу, поскольку она была бы правдивой. Точно так же он не мог бы произнести её, будучи виновным и рыцарем, ибо тогда она была бы ложной. Значит, подсудимый невиновен.
7.
В Верховном Совете острова 101 депутат. Однажды они решали, не выгнать ли одного депутата ради экономии бюджета. Но каждый из них заявил: «Если вы меня выгоните, то лжецов в Совете будет больше, чем рыцарей». Сколько же в Совете было рыцарей?
Ответ. В Совете было 50 рыцарей (и 51 лжец).
Решение.

Во-первых, отметим, что в Совете есть хотя бы один рыцарь и хотя бы один лжец. Если бы были только лжецы, то заявление каждого из них «без меня лжецов будет больше, чем рыцарей» было бы правдой. И наоборот, в Совете из одних лишь рыцарей такое заявление от лица любого депутата было бы ложью. Противоречие.

Во-вторых, если выгнать одного рыцаря, то лжецов будет больше, чем рыцарей, о чём он честно и заявляет. А если выгнать лжеца, то лжецов будет не меньше, чем рыцарей (иначе заявление этого лжеца было бы правдой).

Обозначим изначальное количество лжецов в Совете буквой Л, а число рыцарей — буквой Р. Тогда Р + Л = 101, поскольку в Совете изначально 101 депутат. Если выгнать любого рыцаря, то рыцарей останется Р − 1, и это меньше Л — числа оставшихся лжецов. Если выгнать любого лжеца, то лжецов останется Л − 1, что должно быть не меньше, чем Р. То есть (Р − 1) < Л , (Л − 1) ≤ Р. Получается, что P − 1 < Л ≤ Р + 1, то есть число лжецов или равно числу рыцарей, или больше его на один. Первое невозможно, так как 101 не делится пополам. Второе возможно, если рыцарей 50, а лжецов 51.

8.
Прохожий встретил в лесу трёх человек (А, В и С) и понял, что ровно один из них — вегетарианец. Прохожий спросил: «Кто из вас вегетарианец?» и получил такие ответы:
A: C — вегетарианец.
B: Я не вегетарианец.
C: По крайней мере двое из нас — лжецы.
а)
Кем оказался вегетарианец — рыцарем или лжецом?
б)
Кто из них троих точно не вегетарианец?
Ответ. а) Лжец; б) А.
Решение.

Пусть А сказал правду. Тогда вегетарианец — это С, а значит, В тоже прав. Но тогда А и В — рыцари, а С говорит о хотя бы двух лжецах. Значит, он врёт. Итак, в этом случае вегетарианец — это С, и при этом С лжец.

Предположим теперь, что А лжец. Если В сказал правду, то он рыцарь. Тогда если С соврал, то среди них не должно быть двух лжецов, а они есть: это А и С. А если С не соврал, то среди них должно быть хотя бы два лжеца, но лжец всего лишь один — А. Таким образом, случай, когда А лжец, а В рыцарь, приводит нас к противоречию.

Остаётся вариант, когда А и В — оба лжецы. В таком случае С точно говорит правду, а значит, является рыцарем. При этом вегетарианцем является отрицающий это В. Итак, в данном случае вегетарианец — это В, и он при этом лжец.

Отсюда получаем, что: а) в обоих случаях вегетарианец является лжецом; б) в обоих случаях А не является вегетарианцем.


Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS