МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 21. Последняя цифра

1.

Найдите последнюю цифру числа:

а)

2¹⁰⁰;

б)

549⁴⁹;

в)

2013²⁰¹³.

Ответ Решение

Ответ. а) 6; б) 9; в) 3.

Решение.

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2¹ = 2, 2⁴=4, 2³=8, 2⁴ = 16 → 6, 2⁵ → 6·2 = 12 → 2, 2⁶ → 2· 2 = 4, 2⁷ → 4· 2 = 8, 2⁸ → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6... При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549⁴⁹ совпадает с последней цифрой числа 9⁴⁹. Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1... То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9⁴⁹, и исходное число 549⁴⁹ оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013²⁰¹³ совпадает с последней цифрой числа 3²⁰¹³. Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013²⁰¹³ равна 3.

2.

В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021³³⁷ − 1). Не опечатка ли это?

Ответ Решение

Ответ. Опечатка.

Решение. Число 23021³³⁷ оканчивается единицей (это проверяется аналогично решению задачи 1). Поэтому последняя цифра числа (23021³³⁷ − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.

3.

В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

Ответ Решение

Ответ. Семь десятилитровых и восемь семнадцатилитровых.

Решение. Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8 (проверьте, что это правда и что другие варианты не подходят). То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.

4.

Делится ли число 47³⁰+39⁵⁰ на 10?

Ответ Решение

Ответ. Делится.

Решение. Число 47³⁰ оканчивается цифрой 9, а число 39⁵⁰ — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

5.

Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

Ответ Решение

Ответ. 5.

Решение. Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.

6.

Сколькими нулями оканчивается число 2013! = 1·2·3·...·2011·2012·2013 ?

Ответ Решение

Ответ. 501.

Решение.

Если мы разложим число 2013! на простые множители, то количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой в это разложение входит пятёрка. (В самом деле, 10 = 2·5, а двойка заведомо войдёт в разложение в большей степени, чем пятёрка.)

2013 = 5·402 + 3. Поэтому среди чисел от 1 до 2013 ровно 402 числа делятся на 5. Аналогичным образом выясним, что из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на 5², ещё 16 делятся на 125, то есть на 5³, и ещё 3 числа делятся на 625, то есть на 5⁴. Итого 402+80+16+3 = 501, то есть в разложение числа 2013! пятёрка входит в степени 501. Поэтому 2013! оканчивается 501 нулём.

7.

Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Решение

Решение. Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (проверяем для чисел от 1 до 10, дальше последние цифры повторяются в той же последовательности). Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.

8.

Найдите последнюю цифру числа 7⁷⁷. Степени считаются сверху вниз: 7⁷⁷=7⁽⁷⁷⁾.

Ответ Решение

Ответ. 3.

Решение. Последние две цифры числа 7⁷ образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7⁷ делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7⁷ делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3.

9.

На доске было написано число из нескольких семёрок: 777...77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.

Решение

Решение. При каждой операции из числа 10х+у получается число 3х+у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10x+y − (3x+y) = 7х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.