МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 17. От противного

1.

а)

По кругу лежит 15 шариков двух цветов. Докажите, что найдутся два соседних шарика одного цвета.

б)

За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа — мальчики.

2.

Шестеро преподавателей составляли это занятие и предложили 14 задач. Докажите, что найдутся два преподавателя, которые предложили одинаковое количество задач.

3.

Натуральные числа от 1 до 2013 выписали в ряд, некоторым образом переставили, а затем от каждого числа отняли номер места, на котором оно стоит. Могли ли все получившиеся разности оказаться нечётными числами?

4.

а)

На шахматной доске стоят 44 ферзя. Докажите, что каждый из них бьёт какого-нибудь другого ферзя.

б)

Можно ли расставить на шахматной доске 17 королей так, чтобы они не били друг друга?

5.

Остров имеет форму квадрата размером 4?4 км. На этом острове есть 15 горячих источников. Докажите, что на острове есть квадратный участок площадью 1 км², на котором нет ни одного горячего источника.

6.

В очереди за чипсами и газировкой стоят 50 школьников. Докажите, что либо среди них найдутся 8 школьников из одной школы, либо среди них найдутся 8 школьников все из разных школ.

7.

Можно ли натуральные числа 1, 2, ... , 20, 21 разбить на группы из трёх чисел, в каждой из которых наибольшее число равно сумме двух остальных?

8.

10 школьников играли после Малого Мехмата в снежки. Каждый попал снежком в пятерых товарищей. Докажите, что хотя бы два школьника попали друг в друга.

9.

30 футбольных команд проводят первенство по круговой системе в один круг (это значит, что каждая команда должна сыграть с каждой по одному разу). Докажите, что в любой момент времени найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

10.

Клетчатая доска 6×6 покрыта 18 доминошками размером 2×1 (каждая доминошка покрывает 2 клетки, доминошки не перекрываются и не вылезают за пределы доски). Докажите, что при любом таком покрытии можно разрезать доску на две части по горизонтальной или вертикальной линии, не повредив ни одной доминошки. Подсказка: докажите, что каждая линия сетки, делящей доску на клет-ки, пересекает чётное число доминошек.