МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2012/2013 учебный год

Занятие 3. Чётность

1.
Заполните таблицу:
Ч + Ч = Ч × Ч = Н × ... × Н × Ч × Н × ... × Н =
Ч + Н = Ч × Н = Н × ... × Н × ... × Н =
Н + Н = Н × Н = Н + ... + Н + ... + Н =
От чего зависит значение последней суммы?

Ответ Решение

Ответ.
Ч + Ч = Ч Ч × Ч = Ч Н × ... × Н × Ч × Н × ... × Н = Ч
Ч + Н = Н Ч × Н = Ч Н × ... × Н × ... × Н = Н
Н + Н = Ч Н × Н = Н Н + ... + Н + ... + Н = Ч/Н
Последняя сумма в этой таблице чётна, если количество слагаемых чётно, и нечётна в противном случае.
Решение.

Сначала заполним первые два столбца таблицы. Это не представляет особых трудностей. Для чисел от 0 до 9 соответствующие правила легко проверяются. Дальше можно воспользоваться признаком делимости на 2: число делится на 2 тогда и только когда, когда его последняя цифра делится на 2. Последняя цифра суммы двух чисел равна последней цифре суммы их последних цифр. То же самое относится и к произведению (вспомните правила сложения и умножения чисел в столбик!). Поэтому достаточно проверить правила сложения и умножения для чисел, не превосходящих 9.

Из правил, перечисленных во втором столбце таблицы, следует, что:

  • Если в произведении двух или более чисел хотя бы один из множителей чётный, то все произведение чётно.
  • В противном случае (когда в произведении все множители нечётны) произведение нечётно.

Это позволяет заполнить две верхние ячейки в последнем столбце таблицы.

Наконец, заполним последнюю ячейку таблицы. Стоящая там сумма зависит от чётности количества слагаемых. Если это количество чётно, все слагаемые можно разбить на пары: (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н). Согласно правилу из первого столбца таблицы, Н + Н = Ч. Поэтому (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) = Ч + Ч + ... + Ч. А сумма любого количества чётных слагаемых чётна (это тоже следует из правила, записанного в первом столбце таблицы). Поэтому (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) = Ч + Ч + ... + Ч = Ч.

Если же количество слагаемых в сумме нечётно, то при попытке разбить их на пары одно окажется «лишним»: (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) + Н. Из предыдущих рассуждений следует, что эта сумма равна Ч + Ч + ... + Ч + Н = Ч + Н = Н (здесь мы снова воспользовались правилами из первого столбца таблицы).

2.
Лера нарисовала на доске семь котиков. Потом в аудиторию пришли 33 школьника с Малого мехмата. Каждый из них или стёр одного котика, или дорисовал нового. Могло ли в конце остаться три котика?

Ответ Решение

Ответ. Не могло.
Решение. При каждом действии школьника чётность общего количества котиков на доске изменяется. Так как каждый из 33 школьниов сделал по одному действию, чётность этого количества менялась 33 раза. Поскольку сначала котиков было 7, то есть нечётное число, то в конце концов их должно было стать чётное число. А вот число 3 — нечётно.
3.
Может ли сумма трёх чисел быть чётной, а произведение тех же трёх чисел — нечётным?

Ответ Решение

Ответ. Не может.
Решение. Чтобы произведение трёх чисел было нечётным, каждое из них должно быть нечётным (здесь мы пользуемся результатами задачи 1). А сумма трёх нечётных чисел всегда нечётна (снова пользуемся результатами задачи 1).
4.
Кирилл Юрьевич утверждает, что он сумеет соединить проводами:
а)
6;
б)
7 компьютеров так, чтобы каждый был соединён ровно с пятью другими. Прав ли он?

Ответ Решение

Ответ. а) Прав; б) Неправ.
Решение.

а) Для этого нужно просто соединить каждый из 6 компьютеров с каждым из остальных.

б) Предположим, что это возможно. Сосчитаем количество проводов, которое для этого необходимо. К каждому из 7 компьютеров подключено по 5 проводов. Но каждый провод подключен дважды. Поэтому общее число проводов должно быть равно 7 · 5 : 2. А это число — не целое. Отсюда следует, что Кирилл Юрьевич ошибается.

5.
Можно ли разменять 100 фертингов монетами по 1, 3, 5 и 25 фертингов так, чтобы всего оказалось 33 монеты?

Ответ Решение

Ответ. Нельзя.
Решение. Сумма, которую можно уплатить нечётным (33) количеством монет нечётного достоинства (1, 3, 5, 25), всегда будет нечётной (см. задачу 1). А 100 — число чётное.
6.
Непоседливый школьник разлил сок на клетчатый лист тетради размером 30×55 клеток. Могло ли после этого получиться, что испачканных клеток на 117 больше, чем чистых?

Ответ Решение

Ответ. Не могло.
Решение. Площадь тетрадного листа равна 30·55 = 1650 клеток, то есть чётна. Предположим сначала, что чистых клеток оказалось чётное число. Тогда испачканных клеток на 117 больше, то есть уже нечётное число. Значит, общее количество клеток на листе в этом случае оказалось бы нечётным. То же самое получается, если предположить, что чистых клеток нечётное число.
7.
Женя купил в магазине 16 папок, две толстые тетради, несколько ножниц по 16 руб. 20 коп. и несколько коробок скрепок по 22 руб. Ему сказали, что в кассу следует уплатить 235 руб. 65 коп. Женя попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была устранена. А как Женя догадался, что она была допущена?

Ответ

Ответ. Стоимость 16 одинаковых папок и стоимость двух тетрадей выражаются чётным числом копеек. Цены всех остальных купленных товаров тоже выражаются чётным числом копеек (1620 и 2200 соответственно). Значит, стоимость всей покупки должна выражаться чётным числом копеек. А 23565 — нечётное число. Так что Женю пытались обсчитать, а он это заметил.
8.
У Малыша 43 ириски и 15 карамелек. Каждый день он дарит какие-то две конфеты Карлсону. Если Малыш дарит ему две разные конфеты, то Карлсон дарит Малышу одну ириску, а если две одинаковые, то Карлсон дарит ему одну карамельку. В итоге у Малыша останется всего одна конфета. А какая?

Ответ Решение

Ответ. Ириска.
Решение.

Если Малыш дарит Карлсону ириску и карамельку, а Карлсон дарит ему одну ириску, то у Малыша становится на одну карамельку меньше, а число ирисок не изменяется. Если Малыш дарит Карлсону две ириски, а Карлсон дарит ему одну карамельку, то у Малыша становится на две ириски меньше и на одну карамельку больше. Наконец, если Малыш дарит Карлсону две карамельки, а Карлсон дарит ему одну карамельку, то у Малыша становится на одну карамельку меньше, а число ирисок не изменяется.

Во всех этих случаях чётность числа ирисок у Малыша не изменяется. Изначально ирисок было 43, то есть нечётное число, так что и в конце их останется нечётное число. Поэтому их не могло остаться 0. Значит, оставшаяся у Малыша одна конфета — это как раз ириска.

9.
Тарас Павлович написал на доске 50 чисел. Отличник Яша заметил, что сумма любых 49 чисел нечётна. Чётна или нечётна сумма всех чисел?

Ответ Решение

Ответ. Чётна.
Решение. Сумма первых 49 чисел нечётна. Значит, среди них есть хотя бы одно нечётное (иначе сумма 49 слагаемых была бы чётной). Пусть последнее, то есть пятидесятое, число чётно. Тогда, подставив его на место того самого нечётного числа из первых 49, мы получим чётную сумму 49 слагаемых, что противоречит условию задачи. Значит, 50-е число нечётно, и поэтому сумма всех пятидесяти чётна. Кстати, отсюда также следует, что все 50 чисел нечётны.
10.
На доске написано в строку 2013 целых чисел.
а)
Докажите, что всегда можно стереть одно из них так, что сумма оставшихся чисел будет чётной.
б)
Верно ли это для 2012 чисел?

Ответ Решение

Ответ. б) Неверно.
Решение.

а) Если сумма всех 2013 чисел чётна, то среди них есть хотя бы одно чётное (иначе сумма 2013 нечётных чисел согласно задаче 1 была бы чётной). Сотрём это число, тогда сумма оставшихся чисел будет также чётной. Если же сумма всех 2013 чисел нечётна, то среди них есть хотя бы одно нечётное (иначе сумма 2012 чётных чисел была бы чётной). Сотрём это число, тогда сумма оставшихся чисел будет чётной.

б) Если на доске написано 2012 единиц, то какую бы из них мы ни стёрли, сумма оставшихся будет равна 2011, а это нечётное число. Так что для 2012 чисел такое утверждение неверно.