МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 9 (13 ноября 2010 года)

1.

Поставьте вместо звёздочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.

2.

В тёмной кладовой в беспорядке лежат ботинки: 10 пар чёрных и 10 пар коричневых. Сколько ботинок надо взять, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый ботинок) одного цвета? (В темноте нельзя отличить не только цвет ботинка, но и левый от правого.)

3.

Число n разрешено заменить на число ab, если a + b = n и числа a и b натуральные. (Например, число 10 можно заменить на 1×9 = 9, ибо 1 + 9 = 10, а можно на 5×5 = 25, ибо 5 + 5 = 10.) Можно ли с помощью таких замен получить из числа 13 число 2010?

4.

На острове рыцарей и лжецов за совершение некоторого преступления судили двух местных жителей X и Y. Дело было в высшей степени необычно, так как об обвинителе было известно, что он либо рыцарь, либо лжец. На суде обвинитель сделал два следующих заявления:
1) X виновен.
2) X и Y не могут быть виновны оба.
К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений на месте присяжных? Можно ли утверждать что-нибудь относительно виновности X или Y? Кто, по-вашему, обвинитель: рыцарь или лжец?

5.

Путь от дома до школы Буратино проделал пешком, обратно он двигался той же дорогой, но первую половину пути он проехал на собаке, а вторую половину пути — на черепахе. Известно, что скорость собаки в четыре раза больше, а скорость черепахи — в два раза меньше, чем скорость, с которой Буратино шел в школу. На какой путь — из дома до школы, или из школы до дома — затратил Буратино больше времени?

6.

Два кота едят цепочку из а) 21; б) 20 сосисок. По очереди каждый кот перекусывает по одной перемычке между сосисками, и съедает получившиеся при этом одиночные сосиски. Побеждает тот кот, который съедает в результате большую часть сосисок.

7.

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались.

8.

Из 12 палочек сложили четыре треугольника. Обязательно ли можно сложить из этих палочек три четырёхугольника?