МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 20 (5 марта 2011 года). Геометрия-1

1.

а)

Треугольники ABC и ADC прямоугольные и равнобедренные. Следует ли из этого, что эти треугольники равны?

б)

Две стороны и высота, проведенная к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне, другого треугольника. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны?

2.

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники периметра 2. Сколько прямоугольников могло получиться?

3.

Кольца Борромео. Однажды итальянский вельможа Карло Борромео заказал сделать своему роду герб, на котором была бы изображена цепочка из трех переплетенных колец. Цепочка по замыслу вельможи должна быть такой: если ее собрать из трех бумажных колец, и разрезать любое одно звено, то она распалась бы на три части. Художники сказали, что такое невозможно, и предложили цепочку из трех колец, распадающуюся на три части при разрезании одного конкретного звена. Однако Борромео придумал, как собрать из трех колец нужную ему цепочку. Изобразите герб рода Борромео.

4.

Из доски 8×8 вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать полученную фигуру?

5.

В шестиугольнике пять углов по 90° а один угол — 270° (см. рисунок). С помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.

6.

Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого перпендикуляры.

7.

В треугольнике ABC проведена медиана BD. Точки E и F делят медиану на три равных отрезка (BE = EF = FD). Известно, что AB = 1 и AF = AD. Найдите длину отрезка CE.

8.

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?