МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 12 (4 декабря 2010 года). Принцип Дирихле-2

0.

Фермер рассадил m кроликов по n клеткам. Докажите, что хотя бы в одну клетку попало не меньше ^m/_n кроликов.

1.

У Васи есть 12 шапок. Однажды он положил их все в свой комод, в котором ровно 5 ящиков. Определите, верны ли следующие утверждения:

а)

"В каком-то ящике по крайней мере 2 шапки";

б)

"В каком-то ящике по крайней мере 3 шапки";

в)

"В каких-то двух ящиках есть по крайней мере по 2 шапки";

г)

"В каждом ящике лежит хотя бы одна шапка".

2.

В лесу растет 4 миллиона ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдётся 7 ёлок с одинаковым числом иголок.

***

3.

Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5.

4.

Доказать, что из любых 2011 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2010.

5.

В группе 30 человек. Каждому нравятся ровно k людей из этой группы. При каком наименьшем k обязательно найдутся два человека из этой группы, которые нравятся друг другу?

6.

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

7.

Можно ли расставить лазерные датчики вокруг небольшого здания в степи так, чтобы ни к этому зданию, ни к датчикам нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый датчик стоит неподвижно и "видит" на 100 м строго вперёд.)

8.

Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на а) семь, б) восемь частей?

9.

За круглым столом сидят 33 представителя четырех племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди не сидят рядом с гоблинами, а эльфы не сидят рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.