МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 6 (23 октября 2010 года)

1.

Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м²?

2.

Произведение семи целых чисел равно 23 673 843. Может ли их сумма равняться 1234?

3.

Верно ли, что при любом целом n число n² + n + 41 простое?

4.

Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0.1?

5.

Дан круг и несколько прямоугольников, сумма площадей которых в 1000 раз больше площади круга. Всегда ли можно покрыть данный круг этими прямоугольниками?

6.

Король хочет построить шесть крепостей и соединить каждую крепость со всеми другими прямолинейными дорогами так, чтобы образовались всего лишь три перекрёстка, а на каждом перекрёстке пересекались только две дороги. Сможет ли он это сделать?

7.

Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?

8.

Существует ли многоугольник и точка а) внутри; б) вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком?

9.

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости: а) 5 кругов; б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы любой луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?