МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 11 (27 ноября 2010 года). Принцип Дирихле

1.

Фермер рассадил m кроликов по n клеткам. Докажите, что хотя бы в одну клетку попало не меньше ^m/_n кроликов.

2.

За победу в математической регате команда из 4 человек получила 10 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения:

а)

"кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты";

б)

"кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты";

в)

"двум людям досталось по крайней мере две конфеты";

г)

"каждому досталась хотя бы одна конфета".

3.

Известно, что на голове у каждого человека растёт не более 200000 волос. В Москве живёт более 10,5 миллионов человек. Докажите, что в Москве найдутся 53 человека с одинаковым числом волос.

4.

Можно ли разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?

5.

В квадрате 4×4 отмечено 15 точек. Верно ли, что из этого квадрата всегда можно вырезать квдарат 1×1 без отмеченных точек?

6.

а)

Верно ли, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании?

б)

Тот же вопрос для компании из n человек.

7.

Какое наибольшее число а) королей; б) коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?

8.

На старт «Веселого забега» на 3000 м выходит команда из трёх математиков. Им выдается один одноместный самокат. Дорожка — прямая, стартуют все одновременно, а в зачет идет время последнего. Время соперников — 21 минута. Как математикам финишировать быстрее, если бегают все 125 м/мин, а на самокате ездят — 250 м/мин?

9.

Существует ли многогранник, все грани которого — равнобедренные прямоугольные треугольники?

10.

Лёша и Юра играют в занимательную игру на доске 3×25. Лёша ходит по ней ладьёй, а Юра — конём. В начале игры конь находится на клетке a1, а ладья — на клетке c25. Как Лёше съесть Юру?