МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 8 (6 ноября 2010 года)

1.

У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

2.

Картонный равносторонний треугольник площади 1 разрезали на две части по отрезку, соединяющему середины его двух соседних сторон. Найдите площади этих частей.

3.

Поезд двигался в одном направлении 5,5 ч. Известно, что за любой отрезок времени длительностью 1 ч он проезжал ровно 100 км. Обязательно ли тогда

а)

поезд ехал с постоянной скоростью?

б)

поезд проехал за эти 5,5 часов ровно 550 км?

4.

Двух мудрецов предупредили, что завтра их поставят напротив друг друга и у каждого на лбу напишут цифру 1 или 2 (цифры на лбах могут быть одинаковыми). Каждый из них должен на бумажке написать свою предполагаемую цифру. Как действовать мудрецам, чтобы хотя бы один заведомо угадал свою цифру? (во время испытания нельзя разговаривать, подавать знаки и т.п.).

5.

Напомним, на острове живут рыцари, которые всегда говрят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Вам встретились два островитянина А и В. Предположим, что А высказывает утверждение: "Я лжец, а В не лжец". Кто из островитян А и В рыцарь и кто лжец?

6.

Прямолинейный прут длиной 2 м разрезали на пять кусков, длиной не менее 17 см каждый. Докажите, что среди этих кусков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

7.

а)

Допустим, на острове рыцарей и лжецом вам встретились три человека - рыцарь, лжец и приезжий (как и вы, нормальный человек, который может говорить всё, что захочет), но вы не знаете, кто из них кто. Какие вопросы вам надо задать им, чтобы определить это?

б)

Допустим, вам встретились рыцарь, лжец и два приезжих. Всегда ли у вас получится так задавать вопросы, что вы сможете разобраться, кто из них кто?

8.

Посмотрите на таблицу:
1 = 1²
1 + 3 = 4 = 2²
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
Может быть, эта закономерность (сумма подряд стоящих нечетных чисел начиная с единицы равна квадрату их числа) сохраняется и дальше? Как это проверить?