МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 19 (26 февраля 2011 года). Комбинаторика-3

1.

Для каждого двузначного числа берем произведение его цифр, а затем все эти произведения, вычисленные для всех двузначных чисел, складываем. Сколько получится? А для трёхзначных? N-значных? (Пояснение: берется произведение всех цифр числа, так что если хотя бы одна из цифр — ноль, то и произведение — ноль.)

2.

Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает к себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась. Сколькими способами он может это сделать?

3.

В клетчатом прямоугольнике n×m провели диагональ. Сколько клеток она пересечёт?

4.

В кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?

5.

На рисунке изображена прямоугольная сетка.

а)

Сколькими способами можно попасть из точки O в точку Q, если можно двигаться лишь вправо и вверх по сторонам сетки?

б)

Сколько из этих путей проходят через точку R?

6.

Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

7.

Меню в школьном буфете состоит из 7 блюд. Миша хочет каждый день завтракать по-новому, выбирая на завтрак от 0 до 7 блюд. Сколько дней ему это удастся? Сколько блюд он съест за это время?

8.

Человек начинает свое движение от фонаря посреди улицы, делая шаги равной длины вправо или влево. Предположим, что всего он сделал N шагов.

а)

Сколькими способами человек может оказаться в m шагах от фонаря справа?

б)

Допустим, этот человек каждый раз определял, в какую сторону ему пойти, броском монеты. С какой вероятностью он окажется в m шагах от фонаря справа?