МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Алексей Сергеевич Воропаев и Юрий Александрович Цимбалов
2010/2011 учебный год

Занятие 25 (9 апреля 2011 года). Вероятность

1.
Симметричную монету бросили 10 раз. Какова вероятность того, что а) все 10 раз выпал орёл? б) сначала выпало 5 орлов, а затем 5 решек? в) выпало 5 орлов и 5 решек (в произвольном порядке)?
2.
Тест состоит из 10-ти вопросов, на каждый из которых есть 4 варианта ответа. Если двоечнику Васе удаётся списать ответ на вопрос у отличника Пети, он отвечает на вопрос верно, иначе отвечает наугад. В конце года оказалось, что Вася ответил верно на половину всех вопросов. Какую часть вопросов Вася списал?
3.
Имеются игральные кубики. Их бросают и подсчитывают сумму выпавших чисел.
а)
Какова вероятность того, что на двух кубиках в сумме выпадет 7?
б)
Какова вероятность того, что на трёх кубиках в сумме выпадет 16?
4.
В урне M черных и N белых шаров. Наугад выбрано n шаров. Какова вероятность вытащить ровно m белых шаров, если после взятия из урны шар а) не возвращается назад; б) возвращается назад.
5.
Чему равна вероятность того, что хотя бы у двух школьников в классе из 29 человек дни рождения совпадают? Сравните эту вероятность с 50%. (Високосными годами пренебречь. Во избежание рекомендуется использовать калькулятор.)
6.
Десять учеников стоят перед экзаменом у дверей класса. На столе — 10 различных билетов. Каждый должен зайти и взять один из (оставшихся) билетов. Миша не знает один из этих 10 билетов. Какова вероятность того, что именно этот билет ему попадётся, если Миша зайдёт а) первым; б) последним; в) шестым?
7.
(О вреде подхалимства) В жюри из трех человек окончательное решение выносится большинством голосов. Председатель жюри и второй член жюри принимают правильное решение независимо с вероятностями 70% и 90%, а третий для вынесения решения бросает монету. Как изменится для жюри вероятность вынести правильное решение, если третий начнет копировать решение председателя?
8.
Три завода выпускают одинаковые изделия. Первый производит 50% всей продукции, второй — 20%, третий — 30%. Первый завод выпускает 1% брака, второй — 8%, третий — 3%. Выбранное наугад изделие — бракованное. Какова вероятность того, что оно со второго завода?
9.
Трое друзей хотят бросить жребий, кому идти в лес за дровами. Как им это сделать, если у них есть только одна монета?