МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занятие 10 (20 ноября 2010 года)

1.

Придумайте бумажную фигурку, которую можно перегнуть одним способом — и получится правильный треугольник; можно перегнуть другим способом — и получится прямоугольник.

2.

Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на:

а)

4 равных треугольника;

б)

9 равных треугольников;

в)

k² равных треугольников, где k — произвольное целое число.

Указание

Указание. Вспомните задачу из прошлого листка про то, что 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k².

3.

Найдите какой-нибудь треугольник, который можно разрезать на:

а)

3 равных треугольника;

б)

6 равных треугольников.

4.

Можно ли квадратный лист бумаги 2×2 сложить так, чтобы потом одним взмахом ножниц разрезать его на 4 квадратика 1×1?

5.

4 блохи играют на большом столе в чехарду. Иногда какая-нибудь блоха перепрыгивает через другую, пролетая расстояние вдвое большее, чем между ними было до того. Могут ли блохи из конфигурации "квадратик" собраться в конфигурацию "4 на одной линии"?

6.

Каждую грань кубика поделили на 4 квадрата, а потом раскрасили тремя красками всю поверхность кубика так, что каждый квадрат покрашен только одной краской, и квадраты одинакового цвета не имеют общих сторон. Докажите, что квадратиков каждого цвета — ровно 8.

7.

В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

8.

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить ровно 50 см от шнурка, длина которого равна ²/₃ метра?