МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Алексей Сергеевич Воропаев и Юрий Александрович Цимбалов
2010/2011 учебный год

Занятие 13 (11 декабря 2010 года). Математическая карусель

Правила игры

Правила игры.

Математическая карусель — командное соревнование в решении задач. Всем командам, участвующим в карусели, предлагается в строго определенном порядке (одинаковом для всех команд) один и тот же набор задач, к которым достаточно указывать верные ОТВЕТЫ. На обратной стороне листочка с условием задачи надо написать ответ и сдать листочек преподавателю.
Система подсчета баллов такова, что условием успешного выступления не обязательно является решение большого количества задач. Важнее дать как можно больше верных ответов ПОДРЯД. Подробнее о правилах начисления баллов смотрите далее.

Ход игры

Во время игры команда получает очередную задачу, решает ее и дает ответ. Независимо от результата (верный ответ или нет), команда получает следующую задачу. И так далее. Время на решение одной задачи не ограничено, определено только общее время проведения карусели. Игра для команды оканчивается, если у нее кончились задачи или истекло общее время, отведенное для игры.

Подведение итогов игры

Места распределяются согласно количеству набранных баллов. Если команды имеют равное количество баллов, то выше ставится та, у которой больше верно решенных задач.

Начисление баллов

Первая задача стоит 3 балла.
Если к задаче дан верный ответ, то команда получает ее стоимость, а следующая задача будет стоить на 1 балл больше.
Если на задачу дан неверный ответ, то команда получает за решение 0 баллов, а следующая задача будет стоить на 1 балл меньше, но не менее 3 баллов.

Например, команда, решившая 6 задач подряд, получит 3+4+5+6+7+8=33, а команда, решившая 10 задач через одну, получит только 3+…+3=30.

1.
Какое двузначное число увеличивается в 4,5 раза, если в нём поменять местами цифры?
2.
На листе бумаги нарисованы 12 точек и каждая соединена ровно с пятью другими. Сколько получилось отрезков?
3.
Сколько среди тысячи первых натуральных чисел таких, в записи которых встречаются три одинаковые цифры?
4.
Найдите наименьшее натуральное число, большее 1, которое при делении на 3, 4, 5, 6, 8 и 9 даёт в остатке 1.
5.
Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 метрах от неё. Она делает прыжок в 9 метров каждый раз, когда кролик прыгает на 7 метров. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?
6.
Сколько простых чисел находится в промежутке от 1 до 100?
7.
Отцу — 41 год, старшему сыну — 13 лет, дочери — 10 лет, а младшему сыну — 6 лет. Через сколько лет возраст отца окажется равным сумме лет его детей?
8.
У скольки трёхзначных чисел средней цифрой является 0?
9.
Сколько взвешиваний на чашечных весах потребуется, чтобы определить одну фальшивую монету среди семи? (Известно, что фальшивая монета - легче настоящей.)
10.
В стране Тили-Мили-Трямдии 2010 городов. Некоторые города соединены дорогами. При этом для любой пары городов существует ровно один «маршрут», по которому можно проехать из одного города в другой. Сколько всего дорог в Тили-Мили-Трямдии?
11.
Сколькими способами можно разменять 10 копеек более мелкими монетами (т.е. монетами в 1, 2 или 5 копеек)?
12.
Найдите хотя бы одно двузначное простое число, ни одна из цифр которого не является простым числом.
13.
Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
14.
На какую цифру оканчивается произведение всех натуральных нечётных чисел от 1 до 2011?
15.
Трёхзначное число начинается с восьмёрки. Если восьмёрку переставить в конец числа, то число уменьшится на 486. Найдите это число.
16.
Рыболова спросили, сколько весила пойманная им рыба. Он ответил: "Хвост весил 4 фунта, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост". Сколько весила рыба?
17.
Расшифруйте ребус ** + *** = ****, если известно, что оба слагаемых и сумма не изменятся, если прочитать их справа налево.
18.
Найдите три простых числа, если одно из них равно разности кубов двух других.
19.
Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 13, делится на 13 и имеет сумму цифр, равную 13.
20.
Тетушке Маше на три года меньше, чем Саше вместе с его ровесником Пашей. Сколько лет было Саше, когда тетушке Маше было столько же лет, сколько сейчас Паше?
21.
Футболисты команды «Малый Мехмат» провели три игры, в которых они забили три мяча, а пропустили один. Сколько очков они могли набрать в этих трёх играх? (За победу команда получает 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.) Указать надо все варианты.
22.
На какое минимальное число квадратов (не обязательно равных) можно разрезать прямоугольник размером 5×6?
23.
На какое наибольшее количество неравных прямоугольников с целыми сторонами можно разрезать по линиям сетки квадрат 5×5?
24.
10 игроков играли в теннис. Проигравший игру обижался и уходил. Какое наибольшее число теннисистов могло выиграть по две партии?
25.
Число БАОБАБ делится на 101. Какое это число? (По правилам ребуса, одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным — разные).
26.
На шахматной доске стоят 10 шахматных фигур (слоны и ладьи), не бьющих друг друга. Какое наименьшее количество слонов может быть среди них?
27.
Четыре последовательных целых числа дают в произведении 1680. Какие это могут быть числа? Укажите все варианты!
28.
Сколько существует различных квадратов со сторонами, идущими по линиям сетки квадрата 8×8 (считая сам квадрат 8×8)?
29.
Сколькими способами число 100 можно представить в виде суммы трех простых чисел (порядок слагаемых не важен)?
30.
Сколько раз в году может встречаться пятница 13-е?