МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 21 (26 марта 2016 года). Площадь

Свойства площади:

• Площадь целого равна сумме площадей частей.
• Равные фигуры имеют равные площади.
• Площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна \(ab\).

1

а)

Докажите, что диагональ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника.

б)

Через середину боковой стороны \(CD\) трапеции \(ABCD\) проведена прямая, параллельная \(AB\), пересекающая прямые \(BC\) и \(AD\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Докажите, что площадь исходной трапеции равна площади четырёхугольника \(ABKM\).

2.

Дан прямоугольник \(ABCD\).

а)

Докажите, что \(S_{ABC}=S_{ADC}=\frac12S_{ABCD}\).

б)

На \(BC\) взята точка \(K\). Докажите, что \(S_{ABCD} = 2S_{AKD}\).

в)

На \(BC\) взяты точки \(K\) и \(L\). Докажите, что \(S_{AKD} = S_{ALD}\).

г)

Будут ли верны эти результаты, если точки \(K\) и \(L\) взять на продолжении \(BC\)?

д)

На прямой \(BC\) взята точка \(K\), а на прямой \(AD\) взята точка \(L\). Докажите, что \(S_{AKD} = S_{BLC}\).

е)

Выведите из всего этого формулу площади треугольника.

3.

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\). Доказать, что площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\) равны.

Подсказка

Подсказка. Задачу решать легче, если сначала представить сторону \(AB\) перпендикулярной основаниям.

4.

Два параллелограмма \(ABCD\) и \(AEFG\) расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что \(S_{ABE} + S_{EHC} = S_{HFD} + S_{AGD}\).

Подсказка

Подсказка. Используйте задачу 2.

* * *

5.

Используя четыре числа 4, арифметические операции и скобки, получите все числа от 0 до 9.

6.

На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкина, а на другой — до Палкина. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкина до Палкина?

7.

По кругу стоят 111 островитян (есть два племени островитян: Рыцари, которые всегда говорят правду, и Лжецы, которые всегда лгут). Каждого из них спросили: „Правда ли, что твой сосед справа Рыцарь?”. Количество ответов „Да” оказалось равно количеству рыцарей. Найдите наибольшее возможное количество лжецов в этом круге.