МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 1 (19 сентября 2015 года).

Где-то это уже было...

1.

Детектор троллей умеет определять, в какой из двух групп эльфов скрывается больше троллей (даже один эльф или тролль считается за группу). Перед вами стоят 30 эльфов, ровно один из которых вовсе и не эльф даже, а тролль.

а)

Как найти тролля за 5 применений детектора?

б)

А за 4?

в)

А можно ли за 3?

2.

а)

Есть два соплеменника — профессор и его секретарь (то есть, они либо оба рыцари, либо оба лжецы). Вас очень интересует, едят ли средиземноморские выхухоли африканских полуёжиков. Профессор знает ответ на этот вопрос, но говорить с ним напрямую нельзя. Вы можете передать профессору через секретаря записку с любым одним вопросом, а потом секретарь вам устно передаст ответ профессора. Как по такой схеме узнать ответ на свой вопрос?

б)

В последний момент вы узнаёте, что секретарь заболел, и профессор ответит на ваш вопрос (только один) лично. Что делать?

3.

В турнире играют 30 девочек и 50 мальчиков. В каждом туре все разбиваются на пары противников. В трёх турах 21 раз девочка играла против девочки. Сколько раз в этих турах мальчик играл против мальчика?

4.

Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, 13 картин, 2 корзины, картонку и 41 маленькую собачонку. Выдали даме на станции на каждый объект по квитанции: 5 синих, 7 красных и 47 прочих разных. А беспокоит нас лишь одно: не обсчитался ли там кое-кто?

5.

Не выполняя никаких арифметических действий, узнайте, чётно ли число (29 + 31×7 + 30×4)×7 − 1.

Игра 6.

В классе три ряда, в каждом сидят по 8 школьников. Преподаватели Петя и Илья играют в увлекательную игру: за ход можно выбрать любой ряд и съесть из него сколько угодно школьников. Побеждает тот, кто с хрумканьем съедает последнего школьника. Кто выиграет, если Петя ходит первым?

Где-то это ещё будет...

7.

Школьника можно исключить либо за неуспеваемость, либо за поведение. Мария Семёновна считает, что коммунизм наступит, только если она исключит кого-то двоих из Алёши, Бори, Васи и Гриши. Сколькими способами она может это сделать?

8.

Петя, Макар, Илья, Юра и Костя попали в заброшенную избушку. В кромешной тьме они стали жать друг другу руки. Каждый пожал руку трижды. Докажите, во мраке скрывается кто-то шестой.

9.

Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два из них не били друг друга (король бьёт все клетки, соседние со своей по стороне или вершине)?