МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6 (24 октября 2015 года)

1.

а)

На сторонах кубика написаны числа от 1 до 6, а на сторонах пирамидки — числа от 1 до 4. Их подбрасывают. Сколькими способами при их подбрасывании могут выпасть два нечётных числа?

б)

К ним добавили ещё «кубик» со сторонами, подписанными от 1 до 13. Сколькими способами при из подбрасывании могут выпасть три нечётных числа?

в)

А два нечётных и одно чётное?

2.

а)

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5 и 7? (Каждую цифру можно использовать только один раз.)

б)

Тот же вопросы про цифры 2, 3, 5 и 5.

в)

Тот же вопрос про пятизначные числа и цифры 3, 4, 5, 5 и 5.

г)

Тот же вопрос про пятизначные числа и цифры 3, 3, 5, 5 и 5.

д)

Тот же вопрос про двадцатизначные числа и набор из двенадцати цифр 1 и восьми цифр 8.

3.

а)

Сколько разных слов можно получить, переставляя буквы в \(\underbrace{AA\ldots A}_{\mbox{8}}\underbrace{BB\ldots B}_{\mbox{12}}\)?

б)

Имеется 8 красных дисков и 12 чёрных. Сколькими способами можно нанизать их на вертикальный стержень?

в)

В классе 20 учеников. Сколькими способами можно выбрать среди них 12 тех, кому поставят зачёт?

г)

Имеется клетчатый лист бумаги размера 13× 9. В левом нижнем углу сидит кузнечик. Кузнечик может прыгать на одну клетку вверх или вправо. Сколькими способами он может допрыгать до противоположного угла?

4.

а)

Сколько слонов можно поставить на белые клетки доски 8×8 так, чтобы они не били друг друга?

б)

Сколько слонов можно поставить на доску 8×8 так, чтобы они не били друг друга?

5.

а)

Вам известно, что на доску 8×8 можно поставить максимум 8 ладей, не бьющих друг друга. Если вы решили задачу 4.б), то знаете, сколько на эту доску можно поставить слонов. Придумайте доску любой формы, на которой можно расставить максимум 5 ладей, и максимум 7 слонов.

б)

То же самое, но ладей — восемь, а слонов — пять.

6.

Разрежьте треугольник на несколько треугольников так, чтобы никакие два не имели общей целой стороны.