МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 11 (28 ноября 2015 года)

1.

У вас есть чашечные весы и по одной гири весом 1 г, 3 г, 9 г, 27 г и 81 г. Гири можно класть на обе чаши весов. Как на этих весах уравновесить груз весом 31 грамм? А груз весом 32 грамма? А 49 грамм?

2.

а)

Какие веса могут иметь четыре гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 15 (гири можно ставить только на одну чашу весов)?

б)

Какие веса могут иметь три гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 13 (гири можно ставить на обе чаши)?

3.

а)

Имеются четыре разные гири. Сколькими способами можно положить некоторые из них на весы (гири можно класть только на одну чашу, способ «ничего не положить» тоже считается)?

б)

Тот же вопрос про три разные гири, которые можно класть на обе чаши.

в)

Тот же вопрос про четыре разные гири, которые можно класть на обе чаши.

г)

Тот же вопрос про три пары гирь (гирь в одной паре одинаковые, в разных разные), которые можно класть на одну чашу.

д)

Тот же вопрос про две тройки гирь, которые можно класть на одну чашу.

е)

Тот же вопрос про две тройки гирь, которые можно класть на две чаши.

4.

а)

Существуют ли четыре гири, которыми можно уравновесить любой целый вес от 1 до 17 грамм? (Гири можно класть только на одну чашу.)

б)

Тот же вопрос, но от 1 до 16 грамм.

5.

Шахматная фигура верблюд ходит так: на одну клетку в каком-то направлении и на три в перпендикулярном. Может ли он за несколько ходов встать на соседнюю (имеющую общую сторону с исходной) клетку?

6.

Незнайка хочет нарисовать замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с двумя другими. Незнайка понимает, что можно нарисовать такую ломаную из пяти звеньев, но ему хочется, чтобы в его ломаной звеньев было бы побольше, а сколько именно — он сказать не может, так как не знает, какое ещё число звеньев возможно. Научите Незнайку рисовать такую ломаную из:

а)

7;

б)

9;

в)

12 звеньев.

7.

На доске написано число. За один ход к нему можно прибавить любой его собственный (т. е. отличный от единицы и самого числа) делитель и написать результат на доске вместо исходного числа. Нас интересуют числа, которые можно за несколько таких ходов получить из числа 4.

а)

Можно ли получить число 20 таким образом?

б)

А число 25?

в)

А число 17?

г)

Опишите все числа, которые можно так получить.