МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 16 (13 февраля 2016 года)

1.

а)

Сколько четырёхбуквенных слов можно составить из букв слова ПОЖАЛУЙЫ? (Буквы в словах не должны повторяться.)

б)

Петя хочет сначала составить написать в строчку два четырёхбуквенных слова из этих букв (каждую букву можно использовать только один раз). Сколькими способами он может это сделать?

в)

Вася хочет сначала сделать то же самое, но при этом в одна и та же буква может встречаться в обоих словах (максимум по одному разу). Сколько у него способов это сделать?

г)

Таня хочет поставить на шахматную доску 16 ладей так, чтобы в каждой строке и каждом столбце стояло или 4, или 0 ладей. Сколькими способами можно это сделать?

2.

а)

Широкая ладья бьёт свою вертикаль, свою горизонталь и две соседние вертикали. Сколько широких ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

б)

Сколько слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

3.

На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Может ли случиться, что каждую планету кто-то наблюдает?

4.

Волшебный банкомат меняет любую купюру на любое конечное число купюр меньшего достоинства. Получив 1000 франков одной бумажкой, сможете ли Вы каждый месяц платить квартплату? (Дело происходит в Швейцарии, где квартплата постоянна, а жизнь бесконечна.)

5.

(с Матпраздника) Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.

6.

(с Матпраздника) Дед звал внука к себе в деревню: "Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растут груши и яблони, причём яблони посажены так, что на расстоянии 10 метров от каждой яблони растёт ровно две груши". - "Ну и что тут интересного, - ответил внук. - У тебя, значит, яблонь вдвое меньше, чем груш". "А вот и не угадал, - улыбнулся дед. - Яблонь у меня в саду вдвое больше, чем груш". Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду у деда.

7.

(с Матпраздника) Василиса Премудрая заточила Кощея в волшебном поезде. В поезде 4 вагона. Между соседними вагонами стоит по волшебному светильнику (всего три светильника). Каждый раз, когда Кощей переходит из одного вагона в другой, соответствующий светильник гаснет, если он горел, и загорается, если он был погашен. Если все три светильника погаснут, или наоборот, все три будут гореть, Кощей вырвется на свободу. Может ли Василиса изначально так зажечь светильники и так поместить Кощея, что он никогда не вырвется на свободу?